Estados Unidos

FUNÇÕES ELEMENTARES:

Indice:

  • Algébricas

  • Polinomiais

  • Racionais

  • Irracionais

  • Trascendentes

  • Exponencial

  • Logarítmica

  • Trigonométrica

  • Trigonométricas recíprocas

  • Algébricas

  • Funções polinomiais:

    • Definição:

    f: IR IR

    X f(x)= an xn + an-1 xn-1 +..... + a1 x + a0

    Dom (f) = IR

    Im (f) = Dependendo da cada caso (ou é uma semirrecta ou é IR)

    • Propriedades:

    O grau da função é o grau do polinômio = n

    Se n ð ð Chama-se reta.

    Se n ðð Chama-se parábola.

    x

    e = x

    x

    e = x2

    0

    0

    0

    0

    -1

    -1

    -1

    1

    1

    1

    1

    1

    2

    2

    -2

    4

    -2

    -2

    2

    4

    3

    e = x e = x2

    1 (Reta) (Parábola)

    1 1

    • Continuidade:

    São sempre contínuas.

    • Limites em ± infinito:

    lim (f)(x) = ± "

    x +"

    lim (f)(x) = ± "

    x -"

  • Funções racionais:

    • Definição:

    f: IR IR an xn + an-1 xn-1 +..... + a1 x + a0

    X f(x)=

    bn xm + bm-1 xm-1 +..... + b1 x + b0

    Dom (f) = IR -Funciones elementales

    Im (f) = Variável

    • Propriedades:

    Se m=1 e n ð 1 Chama-se hipérbola.

    • Gráfica:

    Ex. Funciones elementales

    x Funciones elementales

    1/2 -5

    1 -1 -1/2

    2 4

    1 3 5/2

    -2 0

    -6 4/7

  • Funções irracionais:

    • Definição:

    f: IR IR

    X Funciones elementales

    Dom (f): Se a raiz é de índice par, a raiz existe se o radicando é positivo.

    Se a raiz é de índice ímpar, a raiz existe quando exista o radicando.

  • Trascendentes

  • Funções exponenciales:

    • Definição:

    f: IR IR

    X e= ax ( a ð ð, a 0 > )

    Dom (f) = IR

    Im (f) = IR+ - Funciones elementales

    • Propriedades:

    f = (x1 + x2)= f (x1) f(x2)

    f (x1)

    f = (x1 - x2)=

    f(x2)

    a 1 > crescente

    a 1 < decreciente

    Sempre passam pelo pto. (0,1)

    • Limites em em infinito:

    lim 2x = + "

    x+"

    lim 2x = 0

    x-"

    • Gráfica:

    x e = 2x

    -2 1/4

    -1 1/2

    • 1

    • 2

    2 4 -1 1 NOTA: Sempre passam pelo pto. (0,1)

  • Funções logarítmicas:

    • Definição:

    f: IR IR

    X loga x (a 0, > a ð 1)

    Dom (f) = IR + - Funciones elementales

    Im (f) = IR +

    • Propriedades:

    A função logaritmo é a inversa da função exponencial

    ax loga

    X ax x alogax = x

    loga ax

    X logax x loga (ax) = x

    • Limites no infinito:

    lim (log x) = + "

    x+"

    lim (log x) = - "

    x-"

    • Gráfica:

    x Funciones elementales

    1/8 -3

    ¼ -2

    ½ -1

    1 0

    2 1

    4 2 NOTA: Sempre passam pelo pto (1,0)

    8 3

  • Trigonométricas

  • Função seio

    • Definição:

    f: IR IR P

    x e = senx

    Sen x = OP

    Dom(f) = IR Ou

    Im(f) = [-1,1]

    • Propriedades:

    a. É ímpar: Sen (-x) = -senx

    b. Função periódica de período ð = 2ð; sen (x +2ðð

    c. Fórmulas de transformação:

    x ð ð x x xð ð x ð ð x

    a) sen(-x) = sen x b) sen x = -sen (x-ð) c) sen x = -sen (2ð - x)

    d. Fórmulas de adição, ângulo duplo e ângulo metade:

    -Seio da soma de dois ângulos:

    sen ( + ) = sencos + cos sen

    -Seio do ângulo duplo:

    sen 2 = 2 sen cos

    -Seio do ângulo metade:

    sen /2 = ± Funciones elementales

    e. Zeros da função seio

    sen x x = 0 + kð; x = kð / k e Z

    f. Signo:

    sen x " 0 se x e I, x e II

    sen x ð 0 se x e III, x e IV

    • Continuidade:

    " x e R

    • Limites no infinito:

    lim sen x = "

    x+"

    lim sen x = "

    x-"

    • Gráfica:

    x

    0

    ð/6

    ð/4

    ð/3

    ð/2

    ð

    3ððð

    -ð/3

    -ð/2

    sen x

    0

    ½

    Funciones elementales
    /2

    Funciones elementales
    /2

    1

    0

    -1

    0

    -Funciones elementales
    /2

    -1

    0

    1

    -2ð -ð ð 2ð

    -1 = 2ð

  • Cosseno

    • Definição:

    f: IR IR

    X e = cos x

    Ou P

    Domínio (f): IR Cos x = OP

    Im (f): [-1,1]

    • Propriedades:

  • Relacción fundamental:

  • sen2 x + cos2 x = 1

  • É uma função par: cos (-x) = cos x

  • Função periódica de período ð= 2ðð cos (x + 2ð ) = cos x

  • Fórmulas de trasformación:

  • x ð - x x x-ð x 2ð-x

    a) cos x = -cos (ð-x) b) cos x = -cos (x-ð) c) cos x = cos (2ð-x)

  • Fórmulas de adição, ângulo duplo e ângulo metade:

  • - Cosseno da soma de dois ângulos:

    cos ( + ) = cos cos - sen sen

    - Cosseno do ângulo duplo:

    cos 2 = cos2 - sen2

    - Cosseno do ângulo metade:

    cos /2 = ± Funciones elementales

  • Zeros da função cosseno:

  • cos x = 0 ! x = Funciones elementales
    ; x = Funciones elementales

  • Signo

  • cos x " 0 se x e I, x e IV

    cos x ð 0 se x e II, x e III

  • Continuidade:

  • " x e IR

    • Limite no infinito:

    lim cos x = "

    x +"

    lim cos x = "

    x -"

    • Gráfica:

    • x

      0

      ð/6

      ð/4

      ð/3

      ð/2

      ð

      3ððð

      -ð/3

      -ð/2

      cos x

      1

      Funciones elementales
      /2

      Funciones elementales
      /2

      1/2

      0

      -1

      0

      1

      ½

      0

      -1

      -2ð -ð ð 2ð

    • Função tangente: P

      • Definição:

      f. IR IR

      X f(x) = tg x = Funciones elementales

      Dom (f) = IR -Funciones elementales
      = IR -Funciones elementales

      Im (f) = IR Ou

      tg x = OP

      • Propriedades:

    • Função ímpar: tg (-x) = - tg x

    • Função periódica de período ð = ð

    • Fórmulas de transformação:

    • x ð-x x x-ð x 2ð-x

      a) tg x = tg (ð-x) b) tg x= -tg (x-ð) c) tg x= -tg (2ð-x)

    • Fórmulas de adição, ângulo duplo e ângulo metade:

      • Tangente da soma de dois ângulos:

      tg ( + ) = Funciones elementales

      • Cosseno do ângulo duplo:

      tg 2 = Funciones elementales

      • Cosseno do ângulo metade:

      tg /2 = Funciones elementales

    • Zeros da função tangente

    • tg x = 0 ! sen x = 0; x = kð / k e IR

    • Signo:

    • tg x " 0 se x e I, x e III

      tg x ð 0 se x e II, x e IV

      • Continuidade:

      Não está definida para x = ð/2 + kð / k e IR

      • Limites no infinito:

      lim tg x = "

      x+"

      lim tg x = "

      x-"

      • Gráfica:

      x

      0

      ð/6

      ð/4

      ð/3

      ð/2

      ð

      3ððð

      -ð/4

      -ð/2

      tg x

      0

      1/Funciones elementales

      -1

      Funciones elementales

      +"

      0

      ±"

      0

      -1

      ±"

      0

      -2ð -ð ð 2ð

    • Função cosecante

    • f: IR IR

      X e = 1/senx

      Dom (f) = IR

      Im (f) = IR

    • Função secante

    • f: IR IR

      X e = 1/cosx

      Dom (f) = IR

      Im (f) = IR

    • Função cotangente

    • f: IR IR

      X e = 1/tg x ou e = 1/sen x/cos x

      Dom (f) = IR

      Im (f) = IR

    • Funciónes trigonométricas recíprocas:

    • Função arcoseno:

      • Definição:

      Se consideramos: f: IR [-1,1]

      X sen x

      Queremos calcular outra de tal forma que para a cada x sua imagem seja e com sen e = x. Por exemplo se x=1/2, e valeria:

      Funciones elementales
      (há infinitos)

      g não seria função

      Para que g seja uma função apanharemos um intervalo de tal forma que x possua uma só imagem:

      Valeriam intervalos como: [ð/2, 3ð/2] ou [3ð/2, ð/2] entre outros.

      g(x) = arcsen x

      Funciones elementales

      Dom (arcsen) = [-1,1]

      Im (arcsen) = (-ð/2, ð/2)

      • Propriedades:

    • Função ímpar: arcsen (-x)= arcsen x

    • Cortes com os eixos:

    • Com OX ! (0,0)

      Com OY ! (0,0)

      • Continuidade:

      Função contínua " x / x e [-1,1]

      • Gráfica:

      • x

        -1

        -Funciones elementales
        /2

        -1/2

        0

        1/2

        Funciones elementales
        /2

        1

        e= arcsenx

        -ð/2

        -ð/2

        -ð/6

        0

        ð/6

        ð/3

        ð/2

        ð/2

        -1 1

        -ð/2

      • Funções arcocosenos

        • Definição:

        f: IR [-1,1]

        X e = cos x

        Buscamos g / [-1, 1] IR

        X e / cos = x

        g [-1,1] [0,ð)

        X g(x)

        Dom (g) = [-1,1]

        Im (g) = [0,ð]

        • Propriedades:

      • Função par: arccos(-x) = -arccos x

      • Cortes com os eixos:

      • Com OX: arco cosseno x =0 ! e = ð/2 (0, ð/2)

        Com OY: arco cosseno e=0 ! x = 1 (1,0)

        • Continuidade:

        x é contínua " x / x e [-1,1]

        • Gráfica:

        • x

          -1

          -Funciones elementales
          /2

          -1/2

          0

          1/2

          Funciones elementales
          /2

          e = arccosx

          ð

          5ð/6

          2ð/3

          ð/2

          ð/3

          ð/6

          ð/2

          -1 1

        • Função arcotangente

          • Definição:

          f: IR IR

          X e = tg x

          Queremos g / IR IR

          X e /tg e = x

          g: IR [-ððð, ðððð

          X g(x) = e /tg e = x

          g(x) = arctg x

          Dom(arctg) = IR

          Im (arctg) = [-ð/2, ð/2]

          • Propriedades:

        • Cortes com os eixos:

        • Com OX e OY = (0,0)

        • É uma função ímpar: arctg(-x) = -arctg(x)

          • Continuidade:

          Contínua " x / x e [-ð/2,ððð]

          • Gráfica:

          • x

            -Funciones elementales

            -1/Funciones elementales

            0

            1/Funciones elementales

            Funciones elementales

            e = cotg x

            ðð/3

            ðð/6

            0

            ð/6

            ð/3

            ð/3

            -1 1

            -ð/3

            Funções elementares

            11

            10

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