Estados Unidos

INTRODUÇÃODurante o século XVIII, os matemáticos trabalharam muito para enriquecer a análise matemática com numerosos algoritmos e descobertas interessantes: mencionemos as soluções explícitas de problemas de geometria e de mecânica recorrendo a funções familiares, os relacionamentos explícitos entre as funções exponenciales e logarítmicas, etc. Pelo contrário, as demonstrações do teorema fundamental do cálculo e do resto de Taylor, para não citar mais que dois exemplos, seguem sendo imprecisas e intuitivas. No século XIX, a preocupação pelo rigor manifesta-se com a máxima intensidade e os matemáticos dão-se conta das grandes diferenças entre as propriedades das funções de variáveis reais e as de variáveis complexas. Disso resultará uma integração harmoniosa dos resultados ingeniosos dos séculos precedentes e das teorias sistemáticas das funções de variável real e de variável complexa.No campo do álgebra, a princípios do século XIX, o problema central segue sendo o da resolução das equações de grau superior a quatro, e a solução deste problema não se obterá até que a teoria de grupos e de corpos esteja suficientemente elaborada, graças aos trabalhos de Gauss, Abel, Galois, Jordan, Sylaw, Kronecker, Cayley, Klein e Envolva. A importância concedida ao estudo dos problemas lineares manifesta-se em numerosos trabalhos consagrados aos determinantes e às matrizes, no estudo das formas algébricas e dos invariantes, na teoria dos cuaterniones de Hamilton e dos números hipercomplejos e, por último, na introdução do conceito de tipos novos de álgebra. Paralelamente, assistimos à difusão do cálculo vetorial, ao considerável auge da análise vetorial e aos começos do cálculo tensorial.A renovação da geometria pura está assegurada pelos trabalhos de Poncelet, que marcam a verdadeira criação da geometria proyectiva como um ramo autônomo da geometria. As inovações importantes de Mobins, completadas pelos trabalhos de Steiner e de Chasles constituíram verdadeiramente a doutrina proyectiva, independentemente de toda noção métrica (distância, ângulo, etc.) e sobre a única base de axiomas relativos à posição ou à ordem dos elementos fundamentais. É durante o século XIX quando os trabalhos criticas empreendidos desde muito tempo antes para aprofundar na significação do postulado das paralelas conduzem por fim à fundação da geometria hiperbólica. graças aos trabalhos independentes de Gauss, Lobachevski e Bolyai. A geometria elíptica, introduzida por Riemann em meados do século XIX, ilustra um segundo exemplo de geometrias não euclídeas, que serão largamente difundidas e interpretadas após 1868. Ao longo do século, a revisão a cada vez mais atenta dos fundamentos da análise, reforçada pela difusão das geometrias não enclideas, leva aos geómetras a uma análise critico dos princípios e dos fundamentos da geometria clássica. A notável síntese de Hilbert neste campo inspirará grandemente à escola axiomática do século xx. A geometria analítica, por sua vez, conhece uma expansão brilhante, marcada pelos trabalhos da escola francesa sobre as anotações e o princípio dos multiplicadores, pelo papel dominante de Plücker na renovação dos métodos e a extensão do conceito de coordenadas, pela introdução da geometria regrada e dos espaços de n dimensione e pela intervenção do álgebra linear. Também durante o século XIX, a renovação dos métodos de estudo das curvas e superfícies algébricas suscita o desenvolvimento de uma disciplina nova: a geometria algébrica, que tomará sua forma definitiva no século XX e conhecerá então um desenvolvimento rápido. A geometria diferencial moderna será obra dos trabalhos fundamentais de Monge, Gauss e Riemann.Embora a topologia fala sido pressentida antes por Leibniz baixo o nome de geometria de situação, e a ela estão unidos problemas célebres como o das pontes de Konigsberg, o dos nodos e o de colorido de um mapa geográfico, esta disciplina não começa a se desenhar como tal até os trabalhos de Cayley, Listing e Mobins. Foi Riemann quem fundou verdadeiramente este novo ramo das matemáticas, à que considerou como o estudo das propriedades invariantes baixo o efeito de transformações biunívocas contínuas. O ulterior desenvolvimento da topologia foi influenciado pela célebre teoria de conjuntos de Cantor, pelos progressos da teoria dos números reais de Dedekind e de Bolzano, v pelo estudo das funções de variáveis reais.Já desde o século XVII, Leibniz fala tentado estender os limites da lógica de Aristóteles e abordar o estudo das operações lógicas com proposições mediante a análise das formas da linguagem habitual e do pensamento científico. Este ambicioso projeto de Leibniz teve pouca ressonância, e fará falta esperar até meados do século XIX, com os trabalhos da escola inglesa, para assistir à colocação das verdadeiras bases da lógica matemática. Ao começo deste século, alguns autores ingleses (Peacock, Babbage e J. Herschel) ressaltam o fundamento lógico das matemáticas; depois, De Morgan preocupa-se por apresentar a lógica baixo uma forma matemática e por analisar, baixo a perspetiva lógica, o conjunto dos símbolos, as operações e as leis matemáticas. George Boole deu um impulso decisivo a esta dupla corrente de investigações, o que lhe valeu o ser considerado como o verdadeiro criador da lógica matemática moderna. Baixo a influência de Boole, constituiu-se uma escola de lógica simbólica que preparou a unificação progressiva da lógica e a matemática. A importância adquirida pela lógica matemática desde finais do século XIX provem dos trabalhos empreendidos por De Morgan e Boole, que se desenvolveram graças às contribuições dos matemáticos Jevons (inglês), Peirce (americano), Schroder, Hankel e Frege (alemães) e Peano (italiano). Os Principia mathematica de Russell e de Whitchead, marcam um momento culminante na edificación da lógica matemática a princípios do século XX.Gauss: Disquisitiones arithmeticae, que ocupou o centro da literatura sobre o tema. Após Gauss, a teoria de números enriqueceu-se, entre outros, com os imaginários de Galois, com o método fundamental de redução contínua de Hermite, com importantes resultados obtidos no tema do enigmático teorema de Fermat, com teorias sobre os corpos de números algébricos e de números ideais com resultados importantes sobre a distribuição asintótica dos números primos e sobre os números trascendentes A escola biométrica inglesa contribuiu grandemente durante o século XIX ao desenvolvimento da teoria de probabilidades e da estatística. Reanimada por Galton, Weldon e Pearson, esta escola, à que nos dever muito, nos legou a noção de correlação e de esperança matemática e as primeiras comprovações de hipóteses estatísticas, e foi a responsável pela introdução de conceitos como o de regressão e dispersão condicionada. No tema dos fenômenos coletivos aleatórios, é importante a obra do matemático belga Quetelet. Os trabalhos dos matemáticos russos Chebychev, Markov e Liapunov são notáveis pelo que se refere à teoria de erros (introduzida por Laplace) e as propriedades da convergência em probabilidade. Assim mesmo, os matemáticos franceses Poisson, Poincaré e Borel destacam também por seus estudos sobre a casualidade e considerações de conjunto de sucessões infinitas de ensaios, etc. Sublinhemos, por último, que problemas propostos pela propriedade rural, como os da teoria cinética da matéria (movimento browniano) e dos gases, da distribuição do conjunto de sistemas mecânicos são a origem de investigações interessantes sobre as leis de distribuição estatística (Poisson, Maxwell, Boltzman, etc ). A princípios do século XX não há campo científico no que seja ignorado o conceito de variável aleatória.No século XIX assiste igualmente à criação e considerável expansióin da física matemática, com os trabalhos de pourier, Sadi Carnot. Poisson, Green, Kelvin, Stokes, Maxwell e Gibbs. Utilizando os recursos do instrumental matemático, fornecerá fecundos temas de estudo e orientará assim a evolução de certos ramos matemáticos.CONDIÇÕES NOVAS DO PROGRESSO As condições do trabalho científico no sigo profundamente com respeito às que prevaleciam no século anterior. A Revolução francesa, e depois o Império, criaram condições extremamente favoráveis para o desenvolvimento futuro das matemáticas, além de preparar o caminho à revolução industrial no continente europeu. A reforma do ensino superior, científica e técnica, realizada na França pela Revolução, estimulou o cultivo das ciências físicas e criou novas classes sociais que consideravam as coisas de forma diferente e cujo interesse pela educação científica e técnica era manifesto. As idéias democráticas invadem a vida acadêmica, as formas antigas de raciocínio voltam-se a discutir seriamente, o ensino organiza-se sobre bases renovadas.A democratização crescente do ensino superior, o crescimento verdadeiro do sentimento nacional e a profesionalización da atividade do matemático constituem o fator decisivo no desenvolvimento dos diferentes ramos das matemáticas no século XIX. Disso resultará diretamente um acréscimo considerável do número de pesquisadores, e se assistirá a uma verdadeira explosão do número de publicações científicas.Nas universidades e as escolas superiores, reserva-se às matemáticas um local bem mais importante que no passado; o álgebra, a geometria, a análise e a mecânica figuram vantajosamente nos planos de estudo. Os estudantes recebem assim um ensino que lhes permite adquirir uma base sólida sobre a que poderão edificar a seguir. Os que se sentem atraídos pela investigação científica sabem que podem ser orientado para a carreira do professorado, porque esta está dotada de uma importante função social que liberta ao professor das preocupações materiais mais imediatas. Os maestros a quem confiam-se as principais cátedras comprazem-se em comunicar a seus alunos suas descobertas, e inclusive associam-lhes a eles; as comunicações entre cientistas são mais continuadas e seus trabalhos conhecem-se mais rapidamente. A reforma do ensino favoreceu a eclosión de vocações bem mais numerosas, pondo o ensino em contato com a investigação e abrindo-a a classes mais amplas desta sociedade renovada.No século XIX contempla-se também o desenvolvimento de um sentimento nacional bem mais profundo que anteriormente, período no qual científicos como Huygens, os Bernoulli, Euler, Lagrange falam dividido uma parte importante de sua vida entre diferentes países. Muito ao invés, tais intercâmbios serão raros no século XIX, e o verdadeiro ofício do matemático profissional se exercerá na pátria de origem, constituindo assim um fator eminente de progresso científico.Esta corrente de origem francês estende-se aos outros países de Occidente, particularmente a Alemanha, com a ação eficaz de Von Humboldt, e a expansão geográfica da cultura matemática manifesta-se no final do século XIX em numerosos países, incluindo os Estados Unidos e Rússia. Resultará disso um crescimento manifesto da produtividade científica de acordo com uma lei de crescimento exponencial(.De modo geral, o número de cientistas ou de publicações tende a duplicar no curso de um período de dez a quinze anos. Ademais, a cada vez que se duplica a população, o número de cientistas se triplica, e há aproximadamente sete cientistas vivos pela cada oito que exista em toda a história. No entanto, o crescimento exponencial da ciência atinge um limite (curva logística), para além do qual a taxa de crescimento diminui e a curva atinge então um limite de saturação previsível). Segundo Taton, o total anual das publicações duplica-se entre os anos 1870 e 1909.PRINCIPAIS CENTROS DE ATIVIDADE MATEMÁTICAOs focos principais situam-se nas universidades e as escolas, mais que nas academias, que abandonam algo seu papel de inspiradoras para se limitar a difundir, mediante suas publicações, as descobertas mais recentes da ciência. Durante o século XIX, França, Alemanha e Inglaterra são os principais centros matemáticos, enquanto Itália volta a sair à superfície e os Estados Unidos e Rússia fazem seu aparecimento pela primeira vez neste campo.Berço indiscutível dos estudos matemáticos desde a Revolução francesa, França seguiu sendo durante todo o século XIX um dos primeiros centros de ensino das matemáticas. Fundada em 1794, a Escola Politécnica de Paris formará durante cerca de 50 anos uma pléyade de matemáticos, e a lista dos antigos alunos que atingem a celebridade neste campo é longa. Graças ao ensino dado por seus professores, um grande número de estudantes e de pesquisadores estrangeiros se sentirão atraídos por Paris durante o primeiro terço de século. A criação da Faculdade de Ciências, da Escola Normal Superior, das Escolas Especiais de Minas, de Caminhos e de Engenheiros Navais porá fim para meados de século, ao quase monopólio da politécnica, mas mantendo sempre o renome do ensino francês. Felix Klein qualificava os cursos publicados pela Escola Politécnica nos siguentes termos: «Toda uma série de tratados clássicos admiráveis que seguem sendo ainda hoje a base do estudo matemático de toda Alemanha».Dominada pelo matemático maior da época, Gauss, a escola matemática alemã conhece sucessos ressonantes em numerosos campos, e supera inclusive à escola francesa, tanto pelo número de seus centros de atividade matemática como por seus representantes. Entre os centros mais ativos, é preciso citar a Gotinga, marcada pela talha imponente de Gauss, e no final de século, pelo eminente geómetra Hilbert e sua escola; Berlim, onde Weierstrass formará a numerosos discípulos; Konigsberg, com suas sete pontes, é célebre em topologia, pelo ensino do matemático Jacobi e, principalmente, por uma escola de física matemática.A escola britânica não se libertou de sua sustentação demasiado servil à tradição newtoniana até princípios do século XIX, graças à modernização dos métodos de ensino e, especialmente, à aceitação gradual dos benefícios da anotação infinitesimal das matemáticas continentais. Os resultados não se fizeram esperar, e a escola britânica desempenhou um papel preponderante na elaboração da lógica matemática, do álgebra linear e da geometria algébrica, no desenvolvimento da física matemática e na fundação da célebre escola de biometría inglesa.Itália conhece uma renovação matemática importante durante a segunda metade do século XIX, graças a uma notável obra original em geometria algébrica e em geometria diferencial. Os matemáticos italianos vão significar-se também no estudo lógico dos princípios matemáticos.Outros países produzirão alguns matemáticos de talento. É o caso de Suíça, Bélgica e os Países Baixos, enquanto novas regiões entrarão no campo das matemáticas: Escandinavia com Abel, Rússia com Lobachevski, Markov e Liapunov, Hungria com Bolyai e Checoslovaquia com Bolzano. Sublinhemos finalmente a entrada em cena, pela primeira vez, dos Estados Unidos da América na segunda metade do século xix com as importantes contribuições de Benjamín Peirce, G. W. Hill e Josiah W. Gibbs.As REVISTAS E SOCIEDADES MATEMÁTICASSe no século XVII foi a época das correspondências e as polêmicas entre cientistas e o XVIII desempenhou um papel preponderante na fundação das academias, no século XIX (no século das revistas) carateriza-se porque os pesquisadores publicam rapidamente suas descobertas, facilitando assim a difusão dos conhecimentos. Esta extensão das investigações se verá favorecida grandemente pela criação de revistas científicas em diversos países.Após a Revolução francesa, a primeira destas revistas parece ser o Journal de l'Ecole Polytechnique (1795); depois vêm os célebres Annales de mathématques de Gergonne, que aparecem em Nimes entre 1810 e 1831, e são durante bastante tempo as únicas revistas consagradas exclusivamente às matemáticas. Entre tanto, Alemanha toma a iniciativa com a fundação em 1826 do Journal für die reine und angewandte Mathematik de Crelle, que existe ainda na atualidade. Pouco depois, Joseph Liouville funda em Paris, em 1836, o Journal de Mathématiques Pares et Appliquées, que também não deixou de se publicar desde então. Na mesma época, os Comptes Rendas Hebdomadaires de l'AcadémieSciences de Paris, fundados em 1835, asseguram a rápida difusão dos novos resultados. Na França, Pastear funda, em 1864, os Annales de l'Ecole Normule Supérieure, e a seguir Darboux cria o BulletinSciences Mathématiques em 1870. Em 1872, a Société Mathématique de France edita seu importante boletim. Sublinhemos o aparecimento das primeiras revistas consagradas ao ensino das matemáticas: os Nouvelles Annales de Mathématques (1842) e L'Enseignement Mathématique, fundado por Laisant e Fehr em 1899.Fora da França, encontramos os Philosophical Transactions de Londres, os Mathematische Annalen de Leipzig (1868), a Ata Mathematica de Estocolmo (1882), o Ameritan Journal of Mathematics (1878), e outros muitos. Sublinhemos que a primeira revista consagrada principalmente à pedagogia das matemáticas foi fundada por J. C. J. Hoffman em 1870.No século XIX viu nascer igualmente as sociedades matemáticas de diversos países: London Mathematical Society (1865), Société Mathématique de France (1872), Edinbargh Mathematical Society (1883), Circolo Matematico dei Palermo (1884), Ameritan Mathematical Society (1888), Deutsche Mathematische Vereinigung (1890). Estas sociedades científicas publicam revistas especiais tais como os Proceedings of London Mathematical Society, os Anuais da Société Scientifique de Bruxelles, o Bulletin da Socété Mathématique de France, etc.No final do século XIX desenvolve-se a instituição dos congressos matemáticos internacionais, em onde se reúnem os matemáticos do mundo inteiro. Suas exposições e conferências raramente carecem de interesse e são, às vezes, a ocasião de confrontações apasionantes. O primeiro de todos foi o de Zürich em 1897, e o segundo, celebrado em Paris em 1900, foi a ocasião oferecida a Hilbert para estabelecer ao mesmo tempo o notável balanço das investigações recentes e uma lista de 23 problemas particularmente difíceis de resolver.7. A ÉPOCA DE GAUSS E CAUCHYINTRODUÇÃOAs figuras dominantes nesta época são, evidentemente, Gauss, o príncipe das matemáticas, e Cauchy, um dos mais ilustre matemáticos que dê França.A imponente talha de Gauss marca, por assim o dizer, a transição entre o século XVIII e o XIX porque, por uma parte, seu gosto pronunciado pelo trabalho solitário, sua habilidade para manejar igualmente bem as matemáticas puras e as aplicadas, sua preocupação constante pela astronomia e seu frequente uso da língua latina estão unidos de alguma maneira às atividades do século XVIII e, por outra parte, a natureza de seus trabalhos anuncia já o espírito do novo período.Seus Disquisitiones aritméticae são uma coleção de contribuições importantes de seus predecessores; contêm um enriquecimento tal que marca o começo da moderna teoria de números. Seus trabalhos em astronomia, em geodesia e em cartografia contribuíram grandemente a enriquecer o patrimônio das ciências experimentais e aplicadas. Preocupado por diversos problemas teóricos propostos por estas ciências aplicadas, Gauss desenvolveu um marcado interesse pela geometria de modo geral e, designadamente, pela geometria não euclídea. Interessou-se também por quase todos os ramos das matemáticas e, na maioria destes campos, suas originais contribuições prepararam o caminho para novas cumes ou novas descobertas.Autor a mais de setecentas memórias e livros, Cauchy introduziu inovações em diversos aspetos das matemáticas. Fundador da teoria das funções analíticas, fez progredir de modo gigantesco a teoria de determinantes e a teoria elástica dos corpos e contribuiu, de uma maneira sistemática, a instaurar o rigor na análise. Cauchy tocou numerosos temas científicos, e seus centos de memórias constituem uma obra que lhe coloca entre os maiores por sua qualidade intrínseca.Durante este fértil período, há alguns cientistas que se significaram também no campo das matemáticas. Os mais importantes são Dirichlet, Abel, Jacobi e Bolzano

GAUSSKarl-Friedrich Gauss (1777-1855) nasceu em Gotinga (Alemanha), o 30 de abril de 1777. Sua mãe era uma mulher inteligente mas pouco instruída, e seu pai, chamado Gerhard, foi qualificado por Karl como «digno de estima», mas também como «dominante, rude e pouco requintado». Sua mãe era servente antes de converter-se na segunda esposa de seu pai, que vivia pobremente exercendo diversos ofícios: jardineiro, jornalero, contramaestre para a manutenção das canalizaciones, tesoureiro de uma pequena caixa de seguros, etc. De menino, Karl devia ser respetuoso e obediente com um pai que não via a utilidade de instruir a seu filho. Pelo contrário, sua mãe esperava muito de seu «maravilhoso» Karl, e embora seu casal foi bastante desgraçado, consagrou-se inteiramente à carreira de seu filho. Gauss testemunhou muito afeto e gratidão durante toda sua vida a sua mãe, que morreu aos noventa e sete ânus, tendo passado os últimos vinte e dois anos de sua vida na casa de Karl.Sem ajuda de nenhum tipo, Gauss aprendeu a «calcular antes de falar». Aos três anos, corrigiu um erro em paga-a dos operários de seu pai, e por si só estudou e aprofundou a aritmética. Aos oito anos mostrou seu gênio precoz por motivo de um problema proposto por seu professor da escola elementar para ocupar a seus alunos: encontrar a soma dos cem primeiros números naturais. Gauss assombrou literalmente ao tosco e autoritário professor revelando-lhe rapidamente a resposta escrita em sua ardósia. Completamente estupefato ante este rasgo de gênio, o professor teve a sabedoria de tentar-lhe livros de aritmética para que o jovem Gauss pudesse prosseguir sua aprendizagem das matemáticas.Aos onze anos Gauss conheceu a Martin Bartels, então professor assistente da escola e mais tarde professor de Lobachevski. Impressionado por sua inteligência, Bartelshabló dele ao duque Carlos Guillermo, quem lhe enviou a estudar a seus expensas, primeiro a um colégio da cidade e depois à universidade de Gotinga, em 1795. Já a sua entrada no colégio Gauss possuía uma formação clássica e cientista que ultrapassava netamente, nessa época, a de um estudante de quinze anos. Além de estar familiarizado com a geometria elementar, o álgebra e a análise, Gauss adquiria habilidades muito excecionais com respeito aos números. Durante sua estância no colégio, aperfeiçoou seus conhecimentos de aritmética dos números, estudou os Principia de Newton e o Ars conjectandi de Bernoulli, e isso simplesmente porque a maior parte das outras obras clássicas de matemáticas não estavam disponíveis. Isso não lhe impediu formular o método dos mínimos quadrados, descobrir a lei de reciprocidad quadrática, formular a hipótese do teorema dos números primos e encontrar resultados compatíveis com uma geometria não euclidea.Aos dezenove anos, Gauss duvida ainda entre a filología e as matemáticas, mas o 30 de março de 1796 obtém, a partir de um estudo sistemático das equações ciclotómicas, a construção do polígono regular de dezessete lados com só a regra e o compasso. Sua eleição está feita, se fará matemático e, desde esse dia, consigna a primeira anotação em seu célebre diário matemático no que, durante dezoito anos, inscreverá 146 enunciados extremamente breves dos resultados de seus trabalhos. O interesse científico e histórico desse diário pessoal de tão só dezenove páginas é indiscutível. Revela uma visão íntima do matemático surpreendido ao natural em sua atividade profissional e permite-nos seguir o desenvolvimento de seu talento. Gauss, a quem gostava do rigor e a perfeição, publicava muito pouco e muito tarde, e por isso seu diário é precioso para estabelecer a data e a autenticidade de certos resultados, o que permite dilucidar questões relativas à prioridade de algumas descobertas Este diário não foi encontrado até 1898, e seu conteúdo foi publicado pela primeira vez por Felix Klein em 1901.Em 1798, Gauss volta a Brannschweig para continuar ali seus trabalhos em solitário, e ao ano seguinte obtém o doctorado pela Universidade de Helmsted baixo a direção, segundo parece, do matemático wurtemburgués Johann Friedrich Pfaff, quem se convierteluego em seu amigo. Sua tese de doctorado contém uma demonstração de que toda equação polinomial, p(x) = 0, possui ao menos uma raiz, qualquer que seja a natureza real ou imaginária dos coeficientes da equação. Dará mais adiante outras três demonstrações do mesmo teorema fundamental do álgebra em trabalhos subsiguientes. Em 1801, Gauss escreve e publica seu grande tratado titulado Disquisitiones aritmeticae, no que apresenta um resumo dos trabalhos isolados de seus predecessores, dá soluções às questões mais difíceis, formula conceitos e questões que indicarão, durante ao menos em um século, as linhas mestres da investigação em teoria de números. Ao longo do mesmo ano, Giuseppe Piazzi (1746-1826) descobre o planeta Ceres, mas não chega a determinar exatamente sua posição. Gauss decide localizar este planeta, e de setembro a dezembro deste mesmo ano, utiliza uma teoria orbital dos planetas fundamentada na elipse e recorre a métodos numéricos baseados no método de mínimos quadrados, para chegar finalmente à determinação exata da trajetória deste planeta. Esta façanha coincide com o começo de suas investigações astronômicas, que absorverão uma boa parte de suas energias durante quase vinte anos.As duas primeiras contribuições importantes de Gauss no campo da ciência valeram-lhe o ser nomeado, em 1807, professor de astronomia e diretor do observatório de Gotinga. Aparte de uma visita a Berlim no enquadramento de um congresso de cientistas, Gauss permaneceu em sua cidade natal o resto de sua vida. Seus trabalhos de astronomia, que começaram com o estudo de Ceres, lhe levaram, após alguns anos, a publicar seu Theoria metas corporam coelestiam in sectionibas conicis solem ambientinm em 1809, no qual Gauss desenvolve sistematicamente seu método do cálculo orbital, no que utiliza o método de mínimos quadrados. O período 1801-1809 marca uma etapa decisiva na vida de Gauss. No plano profissional, é a época na que se opera a transição do matemático ao astrônomo e ao físico. Embora o duque de Brunswick aumentava seus emolumentos em 1801, Gauss buscava um já que garantisse-lhe uma maior segurança, e a astronomia parecia então uma alternativa atrayente. Pouco interessado em fazer-se professor de matemáticas para confinarse a ensinar quase exclusivamente a estudantes mais ou menos motivados, considerava também Gauss que as matemáticas não eram o suficientemente úteis por si mesmas.Ademais' o posto de astrônomo profissional enchia em grande parte suas expectativas: pouco ensino que dar e muito tempo disponível para a investigação. Também durante este período Gauss empreende uma correspondência pessoal e profissional com os cientistas da época sobre numerosos temas de investigação salvo, possivelmente, as matemáticas. Efetivamente, aparte de algumas cartas trocadas com seu amigo Wolfgang Bolyai sobre os fundamentos da geometria e alguma correspondência dispersa com outros matemáticos (a escola de Paris), Gauss será toda sua vida um matemático solitário que não terá nem colaboradores, nem corresponsales, nem sequer estudantes que trabalhem em estreita colaboração com ele. No entanto, Gauss inspirará a numerosos matemáticos, entre os quais se contam Dirichlet e Riemann. No campo das ciências, pelo contrário, estará rodeado de numerosos estudantes, colaboradores e amigos e, designadamente, Von Humboldt e Von Lindenau desempenharão um papel privilegiado na vida profissional de Gauss e no desenvolvimento da ciência na Alemanha.Graças a melhorias econômicas sucessivas, outorgadas pelo duque, aos vinte e oito anos Gauss encontra-se em condições de contrair casal com Johanne Ostof, o 9 de outubro de 1805. De sua união nascem Joseph e Minna, e durante quatro anos Johanne faz com que a atmosfera familiar seja alegre e atrayente. Mas em 1807 uma primeira desgraça abate-se sobre Gauss ao inteirar-se de que seu amigo e protetor, o duque Fernando, morreu à cabeça dos exércitos prusianos contra Napoleón. Já Gauss via em Napoleón a personificación dos perigos da revolução e, a raiz deste trágico acidente, suas opiniões políticas e nacionalistas evoluem de tal maneira que se converte em um fiel nacionalista e realista. Em 1809 nasce um terceiro filho, de nome Louis; das secuelas deste nascimento morre sua amada Johanne, e ademais o menino só sobrevive algum tempo. Estes dois acontecimentos desgraçados, acontecidos neste curto período, sumiram a Gauss em uma solidão tal que não foi capaz já nunca da superar completamente. O 4 de agosto de 1810 casa-se por segunda vez com a amiga íntima de sua primeira esposa, Minna Waldeck, e deste casal nascem dois meninos e uma menina. Diz-se que Gauss dominava a suas duas filhas e discutia com seus filhos menores quem, por outra parte, emigraram aos Estados Unidos. Só após a morte de sua segunda esposa Minna, em 1831, melhorou bastante o clima familiar, obrigado sobretudo a seu hijaThérese, a mais pequena da família, que se converteu na acompanhante intima de seu pai durante seus vinte e quatro últimos anos.Durante os primeiros anos em Gotinga, Gauss realiza estudos e leva a cabo investigações em diversas frentes ao mesmo tempo e redige numerosas memórias: um primeiro estudo rigoroso das séries e a introdução das funções hipergeométricas (1813); uma contribuição importante à aproximação das integrais e um das primeiras análises dos estimadores estatísticos (1816); trabalhos em astronomia, inspirados por seu estudo do planeta Pás e uma memória notável sobre a determinação da atração de um planeta a sua órbita. Interessa-se também pelo estudo das linhas paralelas, a declinação das estrelas, a teoria de números, as quantidades imaginárias, etc. Enquanto, Gauss empreende a edificación do observatório de Gotinga, que, após muitos esforços consagrados a sua realização material, começa a funcionar em 1816, embora não a pleno rendimento até 1821. Também na mesma época Gauss submete a sua reflexão suas primeiras concepções relativas a uma geometria não euclídea e, de uma maneira lenta e gradual, madura suas idéias e pensa inclusive em publicar sua nova geometria. Mas em 1831 Gauss conhece os trabalhos de Janos Bolyai, e decide escrever ao pai de Janos, Farkas, para fazer-lhe saber que ele já está em posse de tal geometria. Após saber que Lobachevski também fala concebido uma nova geometria, Gauss se negou a utilizar seu prestígio e influência para apoiar e manter o valor intrínseco destas novas geometrias.Desde 1817 a 1847, Gauss consagrou uma boa parte de sua vida a trabalhos de geodesia, designadamente à triangulação de Hannover e à invenção do heliótrofo. Os problemas de agrimensura com que tropeçou Gauss estão na base de suas idéias sobre o método de mínimos quadrados e da estatística matemática. Em 1828, Gauss redige um relatório de suas idéias sobre a figura da Terra, os erros experimentais e o cálculo das observações. Também durante o mesmo ano, Gauss viaja a Berlim para assistir a um congresso científico, convidado por Humboldt, quem será um anfitrião cordial durante todo o congresso. A partir de 1829, Gauss empreende estudos de física que lhe conduzem a trabalhos de física teórica, mecânica, capilaridade, acústica, óptica e cristalografia.Gauss queixava-se desde para alguns anos de uma saúde mais bem delicada e de uma fadiga persistente; os esforços físicos que devia fazer para levar a cabo seus trabalhos de agrimensura lhe conduziram a sofrer de asma e de uma doença do coração. Por isso, decidiu abandonar sua participação ativa nos trabalhos de triangulação em 1825 e se limitar daqui por diante a uma vida singela e regular, evitando as viagens e as consultas do médico. No entanto, nos anos 1830-1831 foram particularmente difíceis para manter esta regularidade tão desejada por Gauss. Efetivamente, sua esposa, que sofre de tuberculose e neurosis histérica desde 1818, se agravou de repente, seu filho maior deixa a casa familiar e emigra aos Estados Unidos após uma discussão com seu pai sobre o tema da juventude libertina, e a nação alemã conhece um período de distúrbios que Gauss desaprova completamente. Apesar de tudo, chega a superar todas estas dificuldades, mas sua mulher morre o 13 de setembro de 1831. Felizmente, um jovem e brilhante físico, Wilhelm Weber (1804-1891) chega a Gotinga em alguns dias mais tarde, e começa uma colaboração estreita e de uma sincera amizade entre os dois cientistas, amizade que se interromperá subitamente em 1837 por causa de uma questão de fidelidade política, quando Weber se declara contrário ao novo rei Ernesto Augusto. Em 1848, quando Weber pôde voltar ao desempenho de suas funções em Gotinga, continuou só sua brilhante carreira, pois não podia contar já com a colaboração de Gauss.Aproximadamente a partir de 1840, as atividades profissionais de Gauss decrecen gradualmente, embora seja ainda um homem muito ocupado. Efetivamente, prossegue suas observações astronômicas, ocupa frequentemente o posto de decano da Faculdade de Gotinga, estabelece um fundo para as viúvas de professores falecidos de Gotinga sobre bases actuariales sólidas, aprende a ler e a escrever o russo e continua trabalhando sobre uma ampla variedade dê problemas matemáticos, além de assegurar um ensino a estudantes a cada vez melhor preparados, entre os que estão Dedekind e Riemann.Após 1850, o estado de seu coração deteriorou-se rapidamente e deveu reduzir consideravelmente suas atividades. Em 1851, Gauss aprovou a tese doctoral de Riemann sobre os fundamentos da análise complexa e em junho de 1854, quando já se encontrava baixo os cuidados de um médico desde para vários meses, assiste feliz ao curso inaugural de Riemann em Gotinga. Obrigado a guardar cama, põe ao dia sua correspondência e prossegue suas leituras até. sua morte, acontecida o 23 de fevereiro de 1855 durante o sonho Gauss, o homem de ciênciaComparado com os maiores matemáticos de todos os tempos, Gauss se impõe por seu talento universal e a qualidade de suas contribuições científicas. Chamado frequentemente o «príncipe dos matemáticos», marca a transição entre o século XlII e o XIX. Apesar de algumas inovações importantes que induziram a outros matemáticos às enriquecer, não é menos verdadeiro que Gauss foi um cientista orientado mais para o passado que para o futuro. Gauss, como dizia Felix Klein, é a «cume imponente que domina a todos os matemáticos do século XVIII». Distinguiu-se tanto em matemática pura como aplicada.

Historia de las Matemáticas: El Siglo XVIII
Historia de las Matemáticas: El Siglo XVIII
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Sabemos já que Gauss não publicou mais que a metade de suas contribuições científicas durante sua vida; o resto aparece em notas, correspondências e relatórios de instituições oficiais. Gauss estava convencido, por experiências vividas, que tinha pouco que ganhar querendo ser comunicado e trocando informação com os demais. Por isso preferiu se isolar quase completamente do campo das influências da atividade matemática da época. No entanto, encontrou mais fácil e mais útil comunicar-se com os experimentadores e os técnicos e, designadamente, colaborou estreitamente com Weber em suas experiências sobre o magnetismo durante cerca de oito anos.Gauss foi um homem frio e pouco comunicativo, com a ambição de conseguir sucesso pessoal e grande renome. Detestava todo o que tinha que ver com cerimônias e formalidades, desaprovava as controvérsias e durante toda sua vida fez alarde de um conservadurismo e um nacionalismo respetuoso. Fora da ciência, seus gostos e interesses foram pouco desenvolvidos. Educado pobremente, buscou durante muito tempo uma segurança financeira crescente e, tendo-a obtido, recusou no entanto o viver como um advenedizo.Graças a seu prestígio e a seu grande renome, e apesar de seu isolamento voluntário, Gauss influenciou e inspirou a vários jovens matemáticos de sua época. Os trabalhos de Jacobi e Abel sobre lasen as Disquisitiones arithmeticae O grau de acabamento de seus resultados em certos ramos das matemáticas foi tal que apareceram novos temas em teoria de números, geometria diferencial e estatística. Gauss é provavelmente, com Cauchy, um dos últimos gênios universais que marcaram o desenvolvimento das matemáticas através dos tempos.O teorema fundamental do álgebraA primeira demonstração satisfatória do teorema fundamental do álgebra, enunciado em 1629 por Girard, aparece na tese doctoral de Gauss titulada “Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integra. unius variebilis in faclores reais primi vel secandi arquibancadas resolvi posse” (nova demonstração do teorema de que toda função algébrica racional de uma variável pode ser decomposta em produto de fatores reais de primeiro ou de segundo grau). Nas primeiras seções faz uma análise critico das demonstrações da existência de uma raiz da função x da forma

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Demonstra que a raiz complexa:

A+bi de X(x+iy)=0

corresponde no ponto (a,b) do plano, e se

X(x+iy)=g(x,e)+ih(x,e)

então o ponto (a, b) deve ser a interseção do curvas g = 0 e h = 0. Seu argumento, sumamente original, depende do gráfico das curvas, e era difícil demonstrar que deviam ter ao menos uma interseção não vazia. Na segunda demonstração deste teorema fundamental publicada em 1816, Gauss abandona as considerações geométricas e apresenta uma demonstração inteiramente algébrica, mas conservando ainda os coeficientes reais. A terceira demonstração baseia-se no que se conhece atualmente como o teorema da integral de Cauchy. Finalmente, a quarta demonstração (1849) é uma variação da primeira, relativo ao método de apresentação, e Gauss estende o campo de variação dos coeficientes ao corpo dos números complexos porque as quantidades imaginárias eram já então, segundo ele, conhecidas geralmente.Disquisitiones arithmeticaA obra fundamental de Gauss foi publicada pelo autor em julho de 1801; é, pois, uma obra de juventude, mas seu grau de acabamento e perfeição valeu-lhe o ser a melhor inspiradora de todos os teóricos posteriores da teoria de números. Efetivamente, este tratado sistematizou, junto do de Legendre, as contribuições do século precedente em um corpo de doutrina independente, e determinou as linhas mestres dos desenvolvimentos neste tema até a época moderna.Neste livro bem conhecido, Gauss normaliza a anotação, apresenta a teoria das congruencias, introduz os números algébricos e a teoria de formas como a idéia dominante da análise diofántico. Precedido de uma dedicatoria ao príncipe Carlos Guillermo Fernando, duque de Brunswick e de Luneberg, o tratado compreende um prefacio seguido de sete seções:1) Números congruentes de modo geral.2) Congruencias de primeiro grau.3) Resíduos de potência.

4) Congruencias de segundo grau.

5) Formas e equações indeterminadas de segundo grau. 6) Diversas aplicações das noções estudadas anterior mente.

7) Equações que definem as seções de um círculo.Já nos trabalhos de Euler, Lagrange e Legendre tomada forma a noção de congruencia, mas só com Gauss se desenvolve como teoria. A anotação por congruencia e a terminologia introduzem-se ao começo da seção I da maneira seguinte: se um número a divide à diferença dos números b e c, dizem-se congruentes segundo a, se não, incongruentes. Ao número a lhe a chamará módulos. Se os números b e c são congruentes, então a cada um deles é resíduo do outro, se não, são não resíduos

Depois Gauss precisa que esses números devem ser inteiros e não frações. Por exemplo, - 9 e + 16 são congruentes módulo 5, - 7 é um resíduo de +15 módulo 11, mas não resíduo módulo 3. Acrescenta, no tema da anotação:Designaremos a congruencia de dois números com o signo " , acrescentando, quando seja necessário, o módulo encerrado entre parêntese; assim -7 " 15 (mod.11). -16"9(mod.5)Gauss amostra a seguir que todos os resíduos da módulo m, para a e m fixos, vêm dados pela fórmula a+km onde k = 0, ±, 1, ±,2, ... e que as congruencias, como as equações, podem ser somado, se restar e se multiplicar. Interessa-se também pelo estudo das congruencias que englobam variáveis: por exemplo, encontrar o valor de x que satisfaz 4x "27 módulo 14.Pode ser visto que 4x é par e que 4x—27 é ímpar. Disso se deduze que 4x—27 não é um múltiplo de 14.Ao começo da seção II, Gauss demonstra o teorema da descomposição única de um número composto em fatores primos e depois apresenta um curto estudo sobre o máximo comum divisor e o mínimo comum múltiplo. Vem a seguir o estudo da congruencia de primeiro grau ax + b" C: esta congruencia possui sempre uma solução quando o módulo é primo com respeito a a, e se v é um valor apropriado de x, isto é uma raiz da congruencia, é fácil ver que todos os números congruentes com v com respeito ao módulo c são também raízes da congruencia. Portanto, Gauss saca a conclusão de que a congruencia x" v (módulo m) fornece a solução completa da congruencia ax + b "C. Após algumas páginas consagradas a esta teoria, Gauss passa ao estudo da congruencia a mais de uma variável, que se termina com a demonstração do teorema fundamental das congruencias polinomiais (demonstrado pela primeira vez por Lagrange em 1768): uma congruencia de grau m

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primo p, que não divide a A, não pode ser resolvido a mais de m maneiras diferentes ou não pode ter mais de m raízes não congruentes com relacionamento a p.Na seção III, Gauss empreende um estudo dos resíduos das potências e, designadamente, encontra-se aí uma demonstração em termos de congruencias, do pequeno teorema de Fermat e uma generalização do teorema de Wilson. Considerado por Gauss como um teorema elegante e de uma grande utilidade, o teorema de Fermat se enuncia da maneira seguinte:Se p é um número primo que não divide à e se a' é a menor potência da que é congruente com a unidade com relacionamento a p, o expoente t será igual a p-1 ou um fator desse número.No articulo 76, Gauss refere-se ao teorema de Wilson e, após haver discutido as contribuições de Lagrange e de Euler à demonstração deste teorema, apresenta uma generalização do mesmo nos seguintes termos:O produto de todos os números inferiores a um número dado A e ao mesmo tempo primos com relacionamento a esse número, é congruente relativamente à com mais ou menos a unidade.Assim, quando A é da forma pm ou 2pm em onde p é um número primo diferente de 2, e também quando A = 4, Gauss afirma que deve ser tomado -1; em caso contrário, +1.Na quarta seção apresentam-se as congruencias de segundo grau, que propõem a questão dos resíduos quadráticos. Segundo Gauss, todos os números podem ser dividido em duas classes, uma que contém os números que são congruentes com um quadrado, e a outra todos os demais. Os números da primeira classe chamam-se «resíduos quadráticos do número tomado como módulo» e os outros não são resíduos quadráticos desse número. Assim, segundo Gauss, se p é um módulo primo, a metade dos números 1, 2, 3, ..., p-1, serão resíduos quadráticos, isto é terá (p—1)/2 resíduos e outros tantos números que não o serão. A seguir, Gauss demonstra uma série de teoremas preliminares sobre os resíduos quadráticos' que prepara sua célebre demonstração da lei de reciprocidad quadrática ca. Entre estes teoremas, podem ser assinalado alguns: - -1 é um resíduo quadrático de todos os números da forma- 4n + I e um não resíduo de todos os números da forma 4n + 3- +2 é um não resíduo, - 2 é um resíduo de todos os números primos da forma 8n + 3;- +2 e -2 são não resíduos de todos os números primos da forma Em + 5; -3 e +3 são não resíduos de todos os números primos da forma 12n + 5;- -3 é um não resíduo, +3 é um resíduo de todo número primo da forma 12n + 11.Gauss formula seu teorema fundamental da maneira siguienteSi p é um número primo da forma 4n + 1. +p será um resíduo ou um não resíduo de todo número primo que, tomado positivamente, seja um resíduo ou um não resíduo de p. Se p é da forma 4n + 3, —p terá a mesma propriedade.Após tê-lo demonstrado de uma maneira muito rigorosa, afirma no articulo 151 que sua demonstração é a mais singela que pode ser encontrado, estando inclusive à corrente, como estava ele, dos trabalhos de Euler e Legendre sobre o tema. Referindo a estes trabalhos, Gauss emite um julgamento sobre o valor destes estudos e afirma, com razão, que só sua demonstração da lei de reciprocidad quadrática deve ser considerada a primeira. Gauss fala descoberto uma demonstração desta lei em 1796 e publicou ao todo quatro, duas das quais aparecem nas Disquisitioneséc. Chamada por Gauss theorema aureum (#joia da aritmética), esta lei fundamental das congruencias foi objeto de não menos de @cincuenta demonstrações posteriores às de Gauss.A seção v. consagrada às formas e às equações indetermmadas de segundo grau, cobre mais da metade de seu célebre tratado. Gauss sistematiza e desenvolve consideravelmente a teoria das formas, que nasce nos trabalhos de Lagrange, e que voltará a tomar e desenvolver Legendre. Escreve, a este respeito, no articulo 222Não devem ser esquecido os trabalhos de outros geómetras,. O ilustre Lagrange fez investigações gerais sobre a equivalência das formas (1773 e 1775) nas que mostrou sobretudo que, para um determinante dado qualquer, pode ser encontrado um número finito de formas tais que toda forma do mesmo determinante seja equivalente a uma delas e que, portanto, todas as formas de um determinante dado podem ser distribuído por classes. Mais tarde, o distinto Legendre descobriu várias propriedades elegantes desta classificação, embora a maior parte por indução, e nós as daremos aqui com as demonstrações. Pelo demais, ninguém fala pensado ainda em fazer a distinção entre equivalência própria e impropia, embora esta se revela como um instrumento muito eficaz para investigações mais delicadas.O famoso problema (artigo 216) de encontrar todas as soluções que sejam números inteiros da equação geral de segundo grau com duas incógnitas foi resolvido completamente por Lagrange (1767 e 1768). Euler tinha-o abordado também anteriormente, mas limitava sua investigação a deduzir todas as soluções de uma só, que supunha conhecida; ademais, seus métodos não dão todas as soluções mais que em um pequeno número de casos.Gauss define em primeiro lugar a equivalência de formas. SeaF = ax2 + 2bxy + cy2uma forma binária que pode ser transformada em uma forma F' substituindo x e e por,x=x´+e´. E=x´+e´, onde , , e são inteiros. Forma-a F converte-se, após a substituição, em

F' = a'x'x' + 2b'x'e' + c'e'e' e obtemos, segundo Gauss, três ecuacionesa' = a2 + 2by + c2 ; b' = a, + b(a + ) + c ; c= a2+2b, + c2Multiplicando a segunda equação por si mesma, a primeira pela terça, e por subtração, se obtienebb'—a'c' = (b2 - ac) (—2)Se deduze, pois, que o determinante da forma F' é divisible pelo determinante da forma F, e que o cociente é um quadrado, pelo que os dois determinantes terão o mesmo signo. Ademais, prossegue, se forma-a F' pode ser transformado em forma-a F mediante uma transformação similar, os determinantes de forma-as F e F' serão iguais, e (a - 2 )= 1. Neste caso as formas dizem-se equivalentes. Ademais, a igualdade dos determinantes é uma condição necessária para a equivalência das formas, mas não suficiente. Se (2—,) = 1, F e F' dizem-se propriamente equivalentes, e se (ab - ,By) = -i, dizem-se impropriamente equivalentes. Gauss demonstra a seguir diversos teoremas sobre equivalência de formas. Por definição, duas formas equivalentes têm o mesmo discriminante D = b2 - ac, e Gauss demonstra que todas as formas com um discriminante D dado podem ser distribuído em classes, de maneira que todo elemento de uma classe seja propriamente equivalente à cada um dos elementos da classe. Gauss dá também critérios para a representatividade da classe, e a forma mais singela que possui um determinante D tem as caraterísticas seguintes: a = 1, b = 0, c = -D; esta se chama então a forma principal, e a classe à que pertence leva o nome de classe principal. Encontra-se também, nesta longa seção, um estudo da composição de formas (produto), bem como a forma ternaria quadrática, tratada de maneira semelhante a como estuda as formas binárias.O objetivo principal considerado por Gauss em seu estudo da teoria das formas consiste em elaborar um conjunto de teoremas da teoria de números. Ademais, mostra como utilizar esta teoria das formas para demonstrar certo número de teoremas sobre os inteiros. Por exemplo, Gauss demonstra que todo número primo da forma 4n + 1 pode ser representado como uma soma de quadrados, de uma única maneira, e que todo número primo da forma 8n + 1 ou 8n + 3 pode ser representado mediante a forma x2 + 2e2 (para x e e inteiros), de uma única maneira, etc. Sublinhemos algumas aplicações a propósito das formas ternarias: a primeira demonstração do teorema de que todo número pode ser representado como uma soma de três números triangulares e uma prova de que todo inteiro positivo se expressa como uma soma de quatro quadrados (demonstrado por Lagrange).Gauss consagra a seção VI a diversas aplicações da teoria de números a diferentes ramos das matemáticas. Assim, trata da resolução de frações por descomposição em frações simplificadas e a conversão de frações ordinárias em frações decimais. A seguir, apresenta um novo método de exclusão, aplicável à resolução das equações indeterminadas de segundo grau. Finalmente, Gauss oferece métodos novos para distinguir os números primos dos números compostos, que permitem encontrar os fatores primos dos números compostos.Na última seção de suas Disquisitiones, Gauss estabelece a teoria geral das funções circulares.Partindo da equação ciclotómica (equação para a divisão de um círculo) xn—1 = 0, estabelece em primeiro lugar que n deve ser um número primo ímpar. Em virtude do teorema de De Moivre, as raízes desta equação sonDonde k=1,2,.........,n.

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Os números complexos x; são os vértices de um polígono regular de n lados que se encontram sobre a circunferencia do círculo. Gauss demonstra que as raízes desta equação podem ser expressado racionalmente em termos das raízes de uma sucessão de equações

W1 = 0, W2 = 0, ...Os graus de Wi precisamente os fatores primos de n—1. Como a cada Wi = 0 pode ser resolvido mediante radicais, se deduze que a equação ciclotómica também o é. Este resultado é importante para a resolução da equação algébrica general de grau n, porque demonstra que é possível, por exemplo, resolver por radicais uma equação de grau 7 se este é fator de n—1. Assim mesmo, o resultado de Gauss é particularmente significativo para o problema geométrico da construção dos polígonos regulares de n lados. Converte a divisão do círculo em n parte na solução de tantas equações (Wi) como fatores tenha em n—1, se n é um número primo, e o grau das equações está determinado pela magnitude dos fatores. Se n - 1 é uma potência de 2, o que ocorre se o valor de n é 3, 5, 17, 257, 65, 513, etc. (onde n =2m p1,p2,......pi inteiro positivo qualquer e pi números primos de Fermat diferentes) o seccionamiento do círculo se reduz a equações quadráticas somente (o grau da cada Wi é necessariamente 2) e as funções trigonométricas dos ângulos P/n, 2P/n, etc., (P é o período 2:r) podem ser expressado mediante raízes quadradas. Desta maneira estamos em condições de construir todos os polígonos de um número primo de lados n se n—1 é uma potência de 2. Designadamente, Gauss conseguiu construir o polígono regular de 17 lados graças a este resultado, de uma importância capital, bem como dar o valor do cosseno do ângulo P/17:Historia de las Matemáticas: El Siglo XVIII

Da mesma maneira pode ser construído também um polígono regula se n é um número primo da forma 22v + 1. Gauss termina seu tratado apresentando uma condição necessária para a construção de um polígono regular de n lados, condição que será demonstrada por Wantzel em 1837.Outros resultados de Gauss em teoria de númerosRecordemos que o conteúdo das Disquisitiones de Gauss é uma obra de juventude que será enriquecida com trabalhos subsiguientes em teoria de números. Durante o segundo decenio do século XlX Gauss empreendeu investigações com o fim de estabelecer leis de reciprocidad para as congruencias de grau superior a dois. Conseguiu formular uma lei de reciprocidad bicuadrática para 1830, bem como uma lei de reciprocidad cúbica. Por motivo destas investigações, Gauss utilizou os «inteiros complexos», com o fim de garantir que sua teoria fosse singela e elegante. Introduzido por Euler e Lagrange, o inteiro complexo adquiriu uma importância considerável em teoria de números graças aos trabalhos de Gauss. Número da forma a + bi onde a e b são inteiros, o inteiro complexo possui quatro unidades: ±1, e ±i. É composto se é o produto de dois inteiros diferentes das unidades. Por exemplo,5 = (1 + 2i) (1 - 2i)é composto, enquanto 3 é um inteiro complexo primala Ademais, Gauss mostrou que o conjunto dos inteiros cumpre, vos possui essencialmente as mesmas propriedades que o dos inteiros habituais. Designadamente, o teorema da factorización única aplica-se aos inteiros complexos contanto que as quatro unidades não sejam consideradas como fatores diferentes.Gauss interessou-se também pelo teorema da distribuição dos números primos e, mediante a tabela de números primos, formulou a hipótese de que (x) difere pouco de

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Ademais, Gauss conhecia o relacionamento:

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mas não sabemos se dispunha de uma demonstração desse teorema. Terá que esperar aos trabalhos de Chebichev, A Vallée-Poussin e Hadamard para estabelecer definitivamente este teorema fundamental da teoria analítica de números.Os trabalhos geométricos de GaussO interesse de Gauss pela geometria manifestou-se em numerosos trabalhos geométricos surgidos principalmente de suas preocupações por diversos problemas teóricos propostos pela astronomia, a geodesia e a cartografia. Consciente da necessidade de uma concepção mais ampla da geometria, foi induzido a interessar-se por diversos problemas de natureza geométrica: ciclotomía, pentágonos esféricos, rotação de uma reta que passa pela origem em três dimensões, formas quadráticas, curvatura de superfícies e geometria não euclidea. a geometria diferencial de superfícies no espaço de três dimensões. Partindo da representação paramétrica de Euler das coordenadas (x, e, z) de todo ponto de uma superficieLa publicação, em 1827, de suas Disquisitiones circa gerais superfícies curvas supõe uma contribuição definitiva a x = x(ou, v), e = e(ou, v), z = z(ou, v)Gauss obtém as equações seguintes para expressar o vetor tangente dx = adu + a'dv, dy = bdu + b'dv, dz = cdu + c'dv onde a =xu´ a' = xv, b =yu, b' =yv´ c =zu´, c´ = zv´. Para simplificar as representações, introduz os determinantes

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que são três componentes de um vetor normal, e supõe que

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A longitude de um arco de uma superfície em R3 vem dada pelo relacionamento d52 = dx2 + dy2 + dz2que Gauss transforma da maneira seguinte: d52= E(ou, v)du2 + 2F(ou, v)dudv + G(ou, v)dv2dondeE = a2 + b2 + c2, F= aa' + bb' + ce', G = a´2 + b´2 + c´2.Esta expressão para ds, o elemento de distância sobre a superfície, constitui essencialmente a primeira etapa no desenvolvimento da geometria de Riemann. Em posse destes relacionamentos fundamentais, Gauss empreende um estudo sistemático da teoria de superfícies. Expressa em primeiro lugar o ângulo entre duas curvas de uma superfície em termos do cosseno desse ângulo, e depois aborda o tratamento da curvatura de uma superfície e faz a observação de que as propriedades de uma superfície dependem unicamente das quantidades E, F e G definidas mais acima. Designadamente demonstra que se duas superfícies são isométricas (aplicáveis a uma sobre a outra) o produto dos duas rádios de curvatura principais é o mesmo em dois pontos correspondentes (theorema egregia».). Em sua memória de 1827, Gauss trata também do problema de determinar as geodésicas sobre as superfícies. Em termos de coordenadas polares, onde p e q representam respetivamente a rádio e o ângulo, Gauss obtieneds2 = dp2+ Gdq2e, em virtude de sua theorema egregia., com E = 1 e F = 0, tem-se

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Onde K é chamado curvatura gausiana

Provisto com este resultado, Gauss consegue demonstrar um teorema célebre sobre a curvatura de um triângulo cujos lados são geodésicas.

Determina que a curvatura total de um triângulo geodésico abc vem dada por"" K ds=a+b+c- Seus trabalhos em geometria diferencial demonstram que o estudo da geometria de uma superfície pode ser feito se concentrando essencialmente na superfície mesma. Ademais, revelam que a superfície pode ser um espaço em si mesma, porque todas suas propriedades estão determinadas pela quantidade ds2. Assim, as «linhas retas» sobre a superfície são as geodésicas e, portanto, a geometria da superfície é não euclídea.Durante esses primeiros anos, em Gotinga, Gauss madurou sua concepção da geometria não euclídea, que se remontava já a sua adolescência em 1792, na que concebia como possível uma geometria lógica sem o postulado das paralelas de Euclides. Convencido da ineficácia das diversas tentativas anteriores para demonstrar o postulado das paralelas, Gauss, apesar de seu profundo conservadurismo e seu medo ao ridículo, aceita a cada vez mais a idéia de que deve ser saído dos caminhos trillados e tentar mais bem elaborar uma nova geometria. A partir de 1813 desenvolve esta nova geometria, telefonema sucessivamente antieuclídea, geometria astral e, por fim, geometria não euclídea. De 1813 a 1831, Gauss elabora sua geometria e encontra numerosos resultados novos, mas não se decide aos publicar antes de sua morte. No entanto, em 1831 escreve um ensaio sobre as linhas paralelas, e em uma carta dirigida a H. K. Schumacher pode ser lido o que segue:Após haver meditado durante quase quarenta anos sem escrever nada... tomei-me a moléstia ao menos de pôr por escrito algumas de minhas idéias, com o fim de que não desapareçam comigo.É também ao ano seguinte quando conhece os trabalhos de Janos Bolyai e, em uma carta dirigida ao pai de Janos, lhe comunica seus próprios trabalhos sobre o tema e reivindica, de alguma maneira, a propriedade de suas descobertas nestes termos:Se digo que sou incapaz de elogiar este estudo, quiçá lhe estranhe. Mas não pode ser de outra maneira, porque isso equivaleria a alabar meus próprios trabalhos. Efetivamente, a focagem preconizada por vosso filho e os resultados que obteve coincidem quase inteiramente com as idéias que ocuparam minha espirita desde faz 30 ou 35 anos. Não tenho a intenção de publicar estas meditações durante minha vida, mas decidi as escrever para que possam ser conservado. É, em consequência, uma surpresa agradável para mim me poupar este trabalho, e me enche de alegria o pensamento de que é precisamente o filho. de meu amigo de sempre o que me tem suplantado de forma tão notável...Deixamos de lado a apresentação do conteúdo matemático de sua nova geometria; voltaremos sobre isso mais adiante, com motivo da exposição dos trabalhos de Bolyai e Lobachevski. Sublinhemos, no entanto, que o conteúdo desta carta feriu profundamente a Janos e lhe desanimó de tal maneira que abandonou suas atividades científicas desde então.

Alguns outros trabalhos matemáticos de GaussDe suas outras memórias matemáticas, muito numerosas, nos contentaremos com assinalar alguns resultados específicos.. Apesar dos trabalhos de Wessel e Argand sobre a representação dos números complexos, terá que esperar às contribuições de Gauss sobre o tema para assistir à aceitação dos números complexos. As idéias de Gauss sobre as quantidades imaginárias remontam-se a muito antes porque, já em 1799, em sua dissertação inaugural pressupõe uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano cartesiano e os números complexos. Representa o número x + iy mediante as coordenadas (x, e) de um ponto no plano real. Mas suas idéias fazem-se mais explícitas em alguns anos depois, pois pode ser lido em uma carta dirigida a Bessel em 1811 que:Da mesma maneira que pode ser representado o domínio inteiro de todas as quantidades reais mediante uma linha reta indefinida (a reta dos reais), pode ser imaginado o domínio inteiro de todas as quantidades, as quantidades reais e as imaginárias mediante um plano indefinido no que todo ponto, determinado por seu abscisa a e seu ordenado b, representa, por assim o dizer' a quantidade a + bi.Este bilhete revela que a concepção gausiana dos números complexos implica um relacionamento direto entre os reais a e b da forma a + bi e os eixos de coordenadas de um sistema no plano. Gauss acrescenta também que é possível ir de um ponto a outro do plano complexo seguindo diversas trajetórias. Em 1831 Gauss temública sua descrição da representação geométrica dos números complexos, em uma memória sobre os restos bicuadráticos apresentada à Sociedade Real de Gotinga. Apresenta a representação da + bi como um ponto (não como um vetor como faziam Wessel e Argand) no plano complexo e descreve a adição e a multiplicação geométrica desses números. Segundo Gauss, a representação geométrica revela «a significação intuitiva dos números complexos completamente estabelecidos e, ademais, não é necessário admitir essas quantidades no domínio da aritmética». Ademais, acrescenta que se as unidades 1, -1 e "-1 fosse telefonemas direta, inversa e lateral em local de positiva, negativa e imaginária, toda a mística que envolvia a esses números provavelmente não existiria. Finalmente, foi Gauss quem introduziu os «números complexos» em oposição às quantidades imaginárias e utilizou a letra i para designar "-1.Gauss introduziu também idéias fundamentais sobre as funções de variável complexa e, mais precisamente, relativo à necessidade de ter em conta os limites de integração quando são números complexos, a propósito da integral logarítmica. Assim, afirma que «o passo contínuo de um valor de x a outro no plano complexo tem local sobre uma curva, e pode inclusive acontecer que esse passo se faça sobre diversas trajetórias». Depois, prossegue, «afirmo agora que a integral #(z)dx possui um só valor inclusive sobre diversas trajetórias, com a condição que (z) seja unívoca e que z, não se faça infinita no espaço limitado pelas duas trajetórias. No tema do caso particular de "dz/z Gauss afirmaque partindo de z = 1 e para valores da + bi, obtém-se um valor único se a trajetória não contém o ponto z = 0 se não, deve ser acrescentado Meu ±2i ao valor obtido ao passar de z = 1 a z = a + bi, ignorando o valor z = 0. Assim, existem vários logaritmos para um a + bi dado.Em diversos pontos, os trabalhos de Gauss em teoria de números e no tema do método de mínimos quadrados coincidem com os de Legendre. Em 1785, Legendre fala apresentado e demonstrado parcialmente a lei de reciprocidad quadrática e Gauss apresentou-a em suas Disquisitiones arithmetica com o «teorema fundamental», fazendo alusão vagamente aos trabalhos de Legendre sobre o tema. Em alguns anos depois, Legendre publica, em 1805, seus Nourelles méthodes pour a détermination dê orbite dê comete (Novos métodos para a determinação das órbitas dos cometas) nos que apresenta o método de mínimos quadrados, enquanto Gauss afirma em 1809, só com respeito a este método, que «nosso princípio, que utilizamos desde 1795, foi publicado tardiamente por Legendre [...]». Legendre replica no mês de maio de 1809 às declarações de Gauss mediante uma carta cujo conteúdo é nada menos que um ataque pessoal tentando demonstrar a inexactitud da expressão «nosso princípio», utilizada por Gauss. Esta disputa sobre a prioridade da invenção do método de mínimos quadrados prosseguiu até 1820, e constitui um exemplo entre tantos outros no que se trata de estabelecer um compromisso entre a data de publicação, por uma parte, e a natureza e qualidade do tema tratado, por outra. Pelo demais, quantos descobertas matemáticas não será atribuídos falsamente a certos matemáticos, ao ser a questão da prioridade com frequência um assunto de justiça no que deviam intervir numerosos fatores antes de se pronunciar o veredito.

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Podemos mencionar também os estudos de Gauss sobre a função gama em seus trabalhos consagrados à função hipergeométrica; designadamente, desenvolveu os resultados de Legendre sobre as funções eulerianas e encontrou a fórmula de multiplicação para (nx). Distinguiu-se igualmente por seus trabalhos sobre as integrais elípticas, pela descoberta da dupla periodicidade destas funções em 1800, mediante a integral que dá o arco da lemniscata, por seu estudo da equação potencial, das séries hipergeométricas e da teoria das singularidades, sem esquecer seus trabalhos em mecânica e astronomia.

CAUCHY

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) nasceu o 21 de agosto de 1789 em Paris, quase seis semanas após a calda da Bastilla. Era o maior de uma família pobre de seis filhos e cresceu durante a Revolução. Apesar da boa vontade de seu pai, LouisFrançois, Augustin-Louis sobreviveu ao Terror mas herdou uma saúde insegura e delicada. Sua educação primária ficou assegurada inteiramente por seu pai, porque as escolas naquela época eram praticamente inoperantes. O 1 de janeiro do ano 1800, seu pai foi eleito secretário do Senado e o jovem Augustin-Louis continuou seus estudos no despacho de seu pai. Foi bem como conheceu aos grandes matemáticos franceses da época, Laplace e Lagrange, e este último manifestou já então, com respeito a ele, uma verdadeira admiração: «Vai substituir-nos/substituí-nos a todos como matemático». No entanto, seu pai não descurou sua educação literária, se preocupando de que seu filho não se limitasse exclusivamente às matemáticas. Para os treze anos, Cauchy entrou na Escola Central do Panteão, e ali obteve primeiros @premio em grego e em composição latina. Em 1804, faz sua primeira comunión, deixa sua escola e empreende durante dez meses estudos intensivos de matemáticas, baixo a direção de um tutor. Em 1805, Cauchy é o segundo no concurso primeiramente na Politécnica, mas, por causa de sua saúde, Lagrange e Laplace aconselham-lhe consagrar às matemáticas. Diplomado pelo Corpo de Engenheiros de Caminhos, Cauchy participou a partir de 1810 nas obras do porto de Cherburgo, mas abandonou cedo seu trabalho como engenheiro para consagrar à ciência pura. Efetivamente, volta a Paris em 1813 e, aos vinte e quatro anos, Cauchy atrai já a atenção dos matemáticos experimentados da França por seus trabalhos de investigação sobre os poliedros e as funções simétricas.

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Cauchy

No mês de fevereiro de 1811, apresenta sua primeira memória consagrada à teoria dos poliedros, na que Cauchy amostra que não existem mais poliedros regulares que os que têm 4, 6, 8, 12 ou 20 caras, além de desenvolver a célebre fórmula de Euler que une as arestas, caras e vértices de um poliedro. Estimulado por Legendre, publica uma segunda memória sobre o tema em janeiro de 1812. Depois, em 1814, apresenta uma Mémoire sul a theorie dê integra-lhes définies (Memória sobre as integrais definidas), seguida em 1815 de uma memória fundamental sobre os grupos de substituição, bem como uma demonstração de um importante teorema de Fermat: todo inteiro positivo pode ser expressado como uma soma de três números triangulares, quatro números quadrados, cinco números pentagonales, etc. No ano seguinte. Cauchy é merecedor do Grande @Premio que oferece a Academia por sua memória sobre Una théorie dê ondas sul a surface d'uma fluída se dêem de profondeur infinie (Um estudo da teoria das ondas sobre a superfície de um fluído denso de profundidade infinita). A seus vinte e sete anos de idade, Canchy é proposto para ocupar o próximo posto vaga na Academia, ensinando ao mesmo tempo álgebra na Faculdade de Ciências, física matemática no College de France e mecânica na Escola Politécnica.Nomeado acadêmico por decreto em 1816, no local de Monge que fala sido excluído por Napoleón a seu regresso da ilha de Elba, Cauchy desenvolveu uma atividade matemática incrível, tanto por sua produção incesante como pela qualidade incomparável de suas memórias sobre praticamente todos os ramos das matemáticas. Sua reputação estendeu-se por toda Europa, e numerosos ouvintes iam de Berlin, Madri, São Petersburgo, etc., para assistir a suas maravilhosas conferências, nas que Cauchy apresentava os resultados originais de suas investigações, particularmente em análises e em física matemática. Casou-se, em 1818, com Aloise de Bure, filha de Uma família cultivada. De sua união, que durou cerca de quarenta anos, nasceram duas filhas que foram educadas segundo os princípios estritos da religião católica.Seguindo a tradição estabelecida na Escola Politécnica, Cauchy foi estimulado a escrever os apontamentos de seus cursos, e assim apareceram sucessivamente os Cours d'analyse de L'Ecole Polytechñique (1821) (Curso de análise da Escola Politécnica), o Résuméleçons sul lhe calcul infinitesimal (1823) (Compêndio das lições sobre cálculo infinitesimal), e as Leçons sul lhe calcul dfférentiel (1829) (Lições sobre o cálculo diferencial). Nestes três livros, Cauchy apresenta o cálculo diferencial e interal com um grande rigor, e o conceito de limite constitui a pedra angular de sua análise. A partir de 1826, publicou uma espécie de diário pessoal titulado Exercices demathématiques(Exercícios de matemáticas) que será prosseguido, após 1830, baixo o titulo de Exercices d'analyse mathématque et de physique (Exercícios de análises matemático e física) no que publicará mensalmente seus trabalhos de matemáticas puras e aplicadas. Mas em 1830 as intrigas politices modificaram durante alguns anos sua carreira de homem de ciência. Efetivamente, ardente realista e partidário dos Borbones, perdeu seu emprego por ter-se negado a prestar juramento à monarquia de julho, e decidiu expatriarse voluntariamente.Foi-se a Suíça por algum tempo, e depois aceitou uma cátedra em Turim, deixando sua família em Paris e conservando sempre seu cadeirão na Academia. Chamado a Praga em 1833 por Carlos X, quem confiou-lhe a educação científica do conde de Chambord, aceitou este convite declarando que não podia «servir melhor os interesses de sua pátria que revelando ao herdeiro de Luis XIV todo o segredo dessa alta filosofia que fez brilhar no grande século com um resplendor tão grande. Sua família reuniu-se com ele em um ano mais tarde. Seu trabalho de tutor foi pesado e esgotador, e Cauchy conseguia dificilmente livrar-se dele de vez em quando para prosseguir suas investigações. Pôde ao menos escrever uma longa memória sobre a dispersão da luz durante este período de tutela. Mas em 1838, pressionado por seus amigos de Paris que lhe incitavam a voltar, Cauchy se excusó ante seus anfitriões pretextando que devia voltar a Paris para celebrar os casamentos de ouro de seus pais. De regresso na França com o titulo de barão, Cauchy ensinou em vários estabelecimentos religiosos e foi eleito membro do Escritório de Longitudes em 1839, mas o governo de Luis Felipe não ratificou essa proposta. A República restaurada após a revolução de 1848 nomeou-lhe professor de astronomia matemática na Faculdade de Ciências, e na Sorbona, embora era um legitimista declarado. Após o golpe de Estado de 1852, Napoleón lII lhe

Dispensou do juramento, e a este gesto condescendiente do imperador respondeu, por princípios, distribuindo todo seu salário entre os pobres de Sceaux, onde residia.Durante os dezenove últimos anos de sua vida, escreveu mais de500 memórias sobre todos os ramos das matemáticas, incluindo a mecânica, a física e as matemáticas. Homem universal, interessado por tudo, e designadamente pela poesia, autor de um trabalho sobre a prosodia hebraica, professou sempre com fervor a fé católica. Passou com quietude e paz nos últimos anos de sua vida e sua morte, acontecida em Sceaux o 23 de maio de 1857, deixou a lembrança de uma personalidade algo ambígua. Homem sociável, moderado e sincero, foi um professor admirável e um hábil conversador. Em mudança, fanático da religião, tentou toda sua vida demonstrar sua superioridade, e sua insaciable desejo de produzir sempre mais lhe impediu provavelmente ajudar àqueles que, como Abel e Bolzano, poderia se beneficiar de sua imensa influência para dar a conhecer seus trabalhos. A obra científica que realizou lhe coloca entre os maiores matemáticos de todos os tempos.Autor a mais de setecentas memórias (só Euler lhe ultrapassa em número), sua obra imensa, na edição moderna, enche vinte e sete volumes em quarto. Cauchy foi o fundador da teoria das funções analíticas. Fez experimentar imensos progressos à teoria dos determinantes, além de introduzir o rigor na análise. Suas contribuições originais referem-se em especial às equações diferenciais ordinárias e em derivadas parciais, à teoria dos grupos de substituição, à clarificación e à formulação dos conceitos da teoria de curvas, aos números complexos e às congruencias polinomiais. Em mecânica, escreveu importantes memórias sobre o equilíbrio de varetas e placas elásticas, sobre a teoria de ondas que Fresnel acabava de estabelecer, bem como sobre o tema da dispersão e a polarización da luz.Cauchy e o rigor na análiseCauchy desenvolveu o cálculo diferencial e integral sobre a base do conceito de limite em suas Lições sobre o cálculo infinitesimal, publicadas pela primeira vez em 1823. No prefacio de seu tratado clássico, afirma que seu principal objetivo é conciliar o rigor com a simplicidade que resulta da consideração das quantidades infinitamente pequenas. Cauchy prossegue recusando o desenvolvimento das séries divergentes e deixando a fórmula de Taylor para o cálculo integral, pois o resto de Taylor está formulado baixo a forma de uma integral. Ademais, estava a par de que Lagrange fala utilizado a fórmula de Taylor como base da teoria da derivada. Mas, acrescenta, a maioria dos geómetras duvidam na a atualidade da utilidade das séries divergentes. Ademais, em certos casos, quando a série de Taylor converge, a soma desta série difere, segundo Cauchy, da função dada.O conceito de limite desenvolveu-se gradualmente a partir do método de recubrimiento dos gregos até o momento em que Newton o expressou a sua maneira em suas Principia. Já alguns autores como D'Alembert e Lacroix falam feito desse conceito a base fundamental do cálculo. No entanto, durante todo este longo período, o cálculo era concebido como um instrumento que se ocupava dos relacionamentos entre quantidades implicadas em problemas geométricos. Unicamente Euler e Lagrange esforçaram-se, sem demasiado sucesso, por estabelecer o cálculo sobre o formalismo de seu conceito de função analítica. Com toda certeza, antes de Cauchy, todos os autores salvo Bolzano falam popularizado a idéia de limite em seus trabalhos, mas a maior parte de sua concepção seguia sendo geométrica.Historia de las Matemáticas: El Siglo XVIII
Lagrange

Nos textos de Cauchy, o conceito de limite converte-se, claramente e de maneira definitiva, em um conceito aritmético sem apoio geométrico, como pode ser constatado em sua definição seguinte:Quando os valores sucessivamente atribuídos a uma mesma variável se aproximam indefinidamente a um valor fixo, de maneira que chegam a diferir tão pouco como se queira dele, este último se chama o limite de todos os demais.Esta definição dá conta exata da idéia intuitiva de limite, mas é verbal mais que numérica. Cauchy serve-se a seguir desta definição para definir um infinitamente pequeno, que resulta ser simplesmente uma quantidade variável dependente com um limite igual a zero:Quando os valores numéricos sucessivos de uma mesma variável decrecen indefinidamente de maneira que diminuem por embaixo de todo número dado, esta variável resulta ser o que se chama um infinitamente pequeno ou uma quantidade infinitamente pequena. Uma variável desta espécie tem zero como limite.Cauchy serve-se desta última definição para estabelecer ordens sucessivos de infinitesimales, com o fim de fazer mais útil e mais operativo esse conceito de infinitesimal. Assim, toda quantidade variável tal que sua razan com a (um infinitésimo) possua um limite finito quando a decrece, pode ser classificado como um infinitésimo de primeira ordem. O mesmo ocorre com a segunda ordem, no sentido de que toda variável cuja razão com a2 possui um limite finito quando a decrece é um infinitésimo de segunda ordem, e se sucessivamente, as potências de a, isto é, a, a2 a3 an são infinitésimos de primeiro, segundo, terceiro e n ordem, respetivamente.Cauchy utilizou de novo sua definição de limite para definir a continuidade de uma função:Seja f(x) uma função do variável x, e suponhamos que esta função possui um valor único e finito para a cada valor de x em um meio dado. Se para um valor de x neste intervalo, acrescenta-se um valor infinitesimal h, a função aumenta em diferencia-a f(x + h)—f(x), que depende, a sua vez, da nova variável e do valor de x. Estabelecido o anterior, a função f(x) será contínua com respeito a x entre os limites dados se, entre esses limites, um crescimento infinitamente pequeno da variável produz sempre um crescimento infinitamente pequeno da função.Diz-se, ademais, que a função f(x) é contínua no meio de um valor particular atribuído à variável, sempre que seja contínua entre dois limites de x, inclusive muito próximos, que contenham ao valor de que se trata.Esta definição da continuidade equivale a dizer f(x) será contínua na se f(x) aproxima-se ao limite f(a) quando x se aproxima ao limite a. No entanto, dada seu ambigüedad, certas expressões como «suficientemente pequena», «chega a ser e segue sendo», serian eliminadas mais adiante para ser substituídas por expressões numéricas bastante mais rigorosas, graças aos trabalhos de Karl Weierstrass (1815-1897). Inexistente no Curso de análise, a definição de derivada de uma função aparece assim no Compêndio de 1823:

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Quando a função e = f(X) é contínua entre os dois limites dados do variável x e se atribui a esta variável um valor compreendido entre os dois limites de que se trata, um crescimento infinitamente pequeno atribuído à variável produz um crescimento infinitamente pequeno da função. Portanto, se faz-se x = i, os dois termos da razão de diferenças

serão quantidades infinitamente pequenas. Mas, enquanto estes dois termos se aproximarão indefinida e simultaneamente ao limite zero, a razão poderá converger para outro limite, seja positivo ou negativo. Este limite, quando existe, tem um valor determinado para a cada valor determinado de x, mas varia com x.Esta definição é essencialmente a da derivada de uma função utilizada na atualidade, se excetua-se a utilização do limite à esquerda e do limite à direita, que não aparece em Canchy. O ponto fundamental desta definição é, evidentemente, a expressão da derivada como um Imite particular de uma função. O conceito de diferencial é definido por Cauchy e em termos da derivada: se dx é uma quantidade finita, então a diferencial dy de e = f(x) está definida simplesmente como f'(x)dx. Pode ser dito também que as diferenciais dy e dx são quantidades escolhidas de maneira que a razão dy/dx coincida com a «última razão», ou o Emite e' = f ´(x) da razão e/x. Cauchy serve-se a seguir do conceito de diferencial expresso em termos da derivada para definir as diferenciais de ordem superior. Por exemplo, como a diferencial dy = f´(x)dx é, de fato, uma função de x e de dx, mantendo dx fixo, a função f´(x)dx terá por derivada f´´(x)dx e uma diferencial de ordem duas d2e= f´´(x)dx2. De modo geral, d´´e = f´´(x)dx´´, onde f´´(x) é chamado por Cauchy o «coeficiente diferencial». A noção de diferencial só tem uma significação lógica quando está diretamente relacionada com a derivada.Durante todo o século XV111, a integração foi tratada como uma operação inversa da diferenciação. A definição de Cauchy da derivada de uma função está formulada de tal maneira que a continuidade da função resulta ser uma condição necessária para a diferenciação da função. É provável que Cauchy, ao desenvolver uma exposição rigorosa do cálculo integral sobre a base de uma concepção da integral como limite de uma verdadeira soma, tivesse boas razões para adotar esta concepção que vai na contramão dos trabalhos de seus predecessores do século XVIII. Considerava, por outra parte, que esta maneira de proceder tinha a vantagem de fornecer sempre valores reais para as integrais correspondentes a funções reais e que era muito apropriada para todos os casos, inclusive para aqueles nos que não pode ser passado geralmente da função baixo o signo " à função primitiva. É por isto pelo que, segundo parece, Cauchy define a integral definida em termos do limite das somas integrais da maneira seguinte. Para uma função e = f(x) contínua entre limite-os dados x0 e X, subdivide este intervalo mediante os valores x0, x1, , . . ., xn-1 I com xn = X, e forma soma-a caraterística dos produtos

Sn = (x1—x0)f(x0) + (X2 —X1)f(x1)+.....+(X-xn-1)f(x1-1)

Se os valores numéricos das diferenças xi+1 -xii decrecen indefinidamente, o valor de Sn atingirá um verdadeiro limite S que dependerá unicamente da forma da função f(x) e dos valores limite x0 e X. Este limite é chamado, segundo Cauchy, uma integral definida. Denota ao limite S com a anotação sugerida por Fourier

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em local da sugerida por Euler

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para designar a antidiferenciación.

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A seguir Cauchy demonstra o teorema fundamental do cálculoSin embargo, sua demonstração não era inteiramente rigorosa, porque não conhecia o conceito de continuidade uniforme. Ao definir a integral sem recorrer à derivada da função, Cauchy viu-se obrigado a demonstrar o relacionamento fundamental entre a derivada e a integral servindo-se do teorema da média: se f(x) é contínua no intervalo fechado [a,b] e diferenciable no aberto (a,b), então existe ao menos um x0 tal que a x0 < < b yf(b)—f(a) = (b - a)f´(x0)(Cauchy demonstra o relacionamento e = f (x + x)x onde Ou<< 1 e x é o intervalo dado.)

Apesar de todo o rigor introduzido por Cauchy na análise, ficam ainda pontos por clarificar: o relacionamento entre a função contínua e a função diferenciable não está compreendida perfeitamente (Cauchy acha que toda função contínua admite necessariamente uma derivada), a eliminação de certas frases vadias como «chega a ser e segue sendo mais pequena que toda quantidade dada» para ser substituídas por uma formulação mais aritmética, a elaboração de uma definição rigorosa do conceito de «número», em uma palavra, a aritmetización da análise está ainda por fazer, mas se deu um passo imenso graças a este grande matemático francês.Cauchy e as séries infinitas

Os trabalhos de Cauchy sobre as séries infinitas constituem a primeira exposição importante sobre o tema e contribuem a introduzir um verdadeiro rigor no aspeto da convergência das séries infinitas. Em seu Curso de análise, Cauchy diz a propósito das sucessões:Uma série (sucessão) é uma sucessão infinita de quantidades, ou0, ou1, ou2, .... que se acontecem em virtude de uma lei determinada. Estas quantidades são os diferentes termos da sucessão considerada.A seguir, passa ao conceito de convergência de uma série como segue:Seja sn = ou0, + ou1 + ou2 + ... + um_ a soma do n primeiros termos, onde n é um inteiro (número natural). Se a soma sn tende para um verdadeiro limite s para valores crescentes de n, então a série diz-se convergente, e o limite em questão chama-se a soma da série. Pelo contrário, se a soma Sn não se aproxima a um limite determinado quando n aumenta indefinidamente, a série é divergente e não terá soma.Cauchy mostra claramente neste bilhete que o conceito de limite está diretamente implicado na definição de convergência de uma série, e põe de relevo o fato de que uma série infinita pode ter uma soma no sentido de um Emite. A seguir, enuncia o critério de convergência que leva seu nome: uma sucessão Sm converge para um limite só se a diferença de Sn+r e de Sn, para todo valor de e de n suficientemente grande, pode ser feito menor em valor absoluto que qualquer quantidade dada. Cauchy demonstrou que esta condição era necessária a partir da definição de convergência, mas não pôde demonstrar a suficiência porque não dispunha de uma definição rigorosa dos números irracionais para apoiar sua demonstração.Após haver demonstrado a condição necessária de seu critério de convergência, Cauchy enuncia e demonstra critérios específicos para a convergência de séries de termos positivos. Encontram-se, entre outros, os critérios da raiz n-ésima, da razão, de comparação, do logaritmo. Demonstra também que a soma um + vn de duas séries convergentes converge para a soma das somas diferentes, e um resultado semelhante para o produto. Cauchy mostra a seguir que as séries de termos negativos convergen quando as séries dos valores absolutos dos termos convergen, e deduze disso o critério de Leibniz para as séries alternantes. Interessou-se também pelas séries cujos termos são funções umvocas e contínuas ou funções da variável complexa. A propósito das séries de Taylor e, designadamente, das séries de Maclaurin, Cauchy formula uma observação muito importante que estipula que uma série infinita de Taylor converge para a função que foi desenvolvida se o resto de Taylor tende a zero. Mediante um exemplo, a função e-xx + e-1/xx, demonstra que a série de Taylor correspondente não converge para esta função. Apesar de algumas falsas interpretações, como a relativa à integração termo a termo de uma série, e o fato de que não chegasse a compreender o conceito de convergência uniforme, Cauchy fez uma contribuição importante à elaboração de uma teoria coerente das séries infinitas convergentes. Devemos a Cauchy um bom número de definições precisas e de métodos rigorosos do ánalisis moderno.As funções de variável complexa em CauchyCauchy deixou-nos um monumento. Trata-se de sua teoria de funções de uma variável complexa e de sua integração, uma das grandes contribuições matemáticas do século XIX. Os primeiros indícios de sta teoria encontram-se em seu célebre Mémoire sul a théorie dê integra-lhes définies (Memória sobre a teoria das integrais definidas), lida ante a Academia de Paris em 1814, mas cuja publicação se atrasará até 1827. Cauchy interessa-se nesta memória pela validade de uma técnica utilizada naquela época, que consistia em calcular integrais definidas mediante variáveis complexas. Tenta fazer rigoroso este passo da variável real à variável complexa, utilizado por Euler desde 1759 e por Laplace desde 1782 na avaliação das integrais definidas. Historia de las Matemáticas: El Siglo XVIII
LaplaceCauchy estuda, de fato, nessa memória a possibilidade de trocar a ordem de integração nos integrais dobros

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Pode ser passado do primeiro membro ao segundo contanto que f(x, e) seja contínua no interior e na fronteira da região. A seguir, Cauchy introduz duas funções auxiliares Ou(x, e) e S(x, e) tais que

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(equações de Cauchy-Riemann). Estas funções foram obtidas por Euler para 1777, quando observou que toda função de z = x + iy tomada a forma M + iN, onde M e N são funções reais, e que para z = x - iy se obtém a forma M-iN. Depois Canchy considera a função f(x, e)dada por

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Escreve

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Assim mesmo, se f(x, e) vem dada por

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tem-se

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Estas duas últimas equações podem ser utilizadas para avaliar integrais dobros em um ou outra ordem de integração. No entanto, Cauchy considera as duas equações entre as funções Ou e S como as que contêm toda a teoria. Por outra parte, terá que esperar a 1821 pára que Cauchy se ocupe dos números complexos e as variáveis complexas de uma maneira explícita em seu Curso de análise. Em 1822, Cauchy parte das equações (11 e (2) e deduze o teorema da integral que leva seu nome por combinação dessas equações, com o fim de expressar F(z) = S + iU, onde z = x + iy e o teorema em que

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Esta integral ilustra o caso singelo de uma integração complexa ao longo da fronteira de um retângulo e amostra que o resultado obtido é independente do contorno eleito. Mas é em 1825 quando Cauchy publica um articulo, reconhecido por muitos como o mais importante dos seus. Titulado Mémoire sul integre-lhes #lhe définies pressas entre dê limite imaginaires (Memória sobre as integrais definidas entre limite imaginários), Cauchy apresenta nele, em primeiro lugar, o problema de avaliar a integral seguinte

onde z = x + iy. Aqui x + iy é definitivamente um ponto do plano complexo e a integral está calculada sobre uma trajetória do plano complexo. É, de fato, a definição da integral entre dois limites complexos como o limite de uma soma. Resulta disso uma generalização de seu resultado para os retângulos. Cauchy mostra também que se a função e sua derivada estão delimitadas e são contínuas, então o limite obtido é independente do contorno escolhido.Cauchy continuou modificando e afinando suas idéias sobre a integração complexa a partir de 1826. Efetivamente, em 1827, uma nota incluída em seus Exercícios de matemáticas sublinha a importância do conceito de «valor principal» na teoria dos resíduos. O conceito e o desenvolvimento dos resíduos constituem uma contribuição muito importante de Cauchy. Em 1831 obtém sua «fórmula integral» e, a partir de 1846, Cauchy aborda o estudo da teoria de funções de variável complexa por se mesma e elabora as bases desta teoria. Em If351, introduz termos novos: monotípica ou monódroma para designar a função unívoca para a cada valor de z em um domínio qualquer; uma função é monógena se para a cada z possui uma só derivada (ou a derivada é independente do contorno); uma função monogénea que não se faz infinita se chama sinéctica (holomorfa).Outras contribuições matemáticas de CauchvEntre suas muitas outras contribuições aos diferentes ramos das matemáticas não podemos mais que citar algumas das mais singelas.Canchy melhorou a formação dos conceitos e clarificó uma boa parte da teoria de curvas no espaço em seus Lecons sul lhes aplocationscalcul infinitesimal à géometrie (Lições sobre as aplicações do cálculo infinitesimal à geometria) de IX26. Depois de haver descartado os infinitésimos constantes e os ds, dissipou a confusão entre as noções de crescimento e de diferencial e acentuou a significação deds2 = dx2 + dy2 + dz2em termos mais explícitos, de

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Seu desenvolvimento da geometria de curvas é praticamente moderno e deduze fórmulas modernas para os cossenos diretores, a curvatura das curvas, etc., além de introduzir o plano oscilador como o plano formado pela tangente e a normal principal.Uma das primeiras contribuições de Cauchy à teoria dos determinantes foi uma memória publicada em 1815 na que fornece a primeira exposição sistemática dos determinantes em uma forma quase moderna. Deve-se-lhe, entre outras coisas, a disposição dos elementos em filas e colunas e a anotação dos índices duplos aij, bem como o termo «equação caraterística» para p( ) = 0 onde p representa um polinômio matricial. É nessa memoriadonde encontram-se numerosos teoremas gerais como o da multiplicação dos determinantes:øaijøø bijø = øcijø onde øaijøe ø bij ø são determinantes de ordem n e

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O termo da fila i e a coluna j do produto é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da fila i øaij ø e da coluna j øbij ø . Cauchy melhorou o desenvolvimento de Laplace dos determinantes. Em 1829 encontrou a primeira demonstração geral de que os valores próprios de uma matriz simétrica são reais e de que a forma quadrática correspondente pode ser transformada em uma soma de termos quadrados (diagonalización), mediante uma substituição ortogonal (ou transformação linear). Encontra-se, por último, em uma memória de 1826, uma demonstração direta de que a equação caraterística é invariante respeito de transformações ortogonais, com motivo da redução de uma forma quadrática de três variáveis, e uma demonstração de que as raízes da equação caraterística são reais.Canchy foi o primeiro matemático que considerou a questão da existência de soluções de equações diferenciais e conseguiu dar dois métodos apropriados. Redigiu uma série de memórias sobre o tema que moveram aos matemáticos a preocupar do problema dos teoremas de existência em equações diferenciais. Interessou-se também ativamente, desde 1844, pela geometria analítica do espaço, e obteve resultados interessantes: entre outros, uma fórmula geral para a transformação de coordenadas oblíquas e a equação de uma Enea reta baixo a forma

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(foi o primeiro em escrevê-la baixo essa forma). No tema das congruencias de polinômios, Cauchy demonstrou, designadamente, que pára todo polinomiof(i) = a0+ a1 i+ a2i2+.........se tienef(i)=a0 -a2+a4-...........+(a1-a3+a5-........)i módulo i2+1

(Cauchy introduziu i em local de x, porque i representava para ele uma quantidade realmente indeterminada). Interessou-se também pela teoria dos grupos de substituição e consagrou um bom número de memórias à questão. Designadamente, demonstrou a afirmação de Galois de que todo grupo finito de substituição cuja ordem é divisible por um número primo p contém ao menos um subgrupo de ordem p, além de tratar abundantemente os valores não numéricos que podem adotar funções de n letras por permutación das letras, e encontrar funções que tomam um número dado de letras.O nome de Cauchy manteve-se em um primeiro plano em campos tão variados como a análise, a mecânica ou a física matemática.Conquanto é verdadeiro que as duas figuras dominantes da primeira metade do século XIX foram, sem discussão, Gauss e Cauchy, também se fizeram notar, nesta época, uma pléyade de matemáticos de talento. Queremos, nas páginas seguintes, fazer justiça particularmente a um verdadeiro número deles, mencionando brevemente algumas de suas contribuições.DIRICHLETPeter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), matemático alemão que terminou seus estudos em Paris, foi discípulo de Gauss ao que aconteceu em Gotinga em 1855. Seu grande tratado, titulado Vorlesangen über Zahlentheorie (Lições sobre teoria de números) é, de fato, uma explicação das Disquisitiones arithmeticae de Gauss que compreende ademais um número imponente de resultados originais. Dirichlet viu-se obrigado a utilizar os recursos da análise para tratar problemas da teoria de números. Partindo de uma sucessão aritmética general da forma a, a + b, a + 2b, .... a + nb, ..., onde a e b são primos entre si, Dirichlet mostrou que esta sucessão contém um número infinito de números primos. Enunciado anteriormente por Euler e Legendre, este teorema foi demonstrado por Lejeune Dirichlet em 1837 e constitui uma generalização do teorema de Euclides sobre o número infinito de núme ros primos na sucessão de números naturais 1, 2, 3, ..., etc. Para demonstrar esta generalização, Dirichlet recorreu a uma prova analítica longa e complicada, na que se utiliza o que se chama atualmente a série de Dirichlet,

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onde as az e z com complexas. Em relacionamento com o resultado de seu teorema, demonstrou também que a soma dos recíprocos dos números primos da sucessão {a + nb} diverge. Dirichlet legou-nos também uma demonstração do último teorema de Fermat para o caso n = 5.Temos visto que Lejeune Dirichlet terminou seus estudos científicos em Paris e, de 1822 a 1825, relacionou-se com frequência com Fourier, quem ajudou-lhe a obter um posto de professor na Alemanha recomendando-lhe a Von Humboldt. Parece que Dirichlet desenvolveu um interesse marcado pelas séries de Fourier como consequência de seus encontros com ele em Paris. Foi o primeiro em formular um conjunto de condições suficientes para assegurar a convergência das séries de Fourier para a função f(x); estas condições são:1. que f seja unívoco e delimitada;2. que f seja contínuo a pedaços, isto é, que aceite somente um número finito de descontinuidades no período;3. que f seja monótono a pedaços, isto é, que possua somente um número finito de máximos e mínimos em um período.Também com motivo deste estudo, Dirichlet ofereceu em 1829 um exemplo de função que se define assim Se deve também a Dirichlet uma definição da função uniforme que se utiliza frequentemente na atualidade: e é uma função de x se à cada valor de x em um intervalo dado corresponde um valor único de e.Em resumo, seus trabalhos referem-se sobretudo à teoria de números e à teoria das séries e integrais trigonométricas, bem como à das equações em derivadas parciais.

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ABEL

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Niels Henrik Abel (1802-1829) foi o maior matemático que produza Norueguesa. Filho de um pastor,

criou-se em uma família pobre e desarticulada, mas graças a seu professor Berdt Michael Holmboe, quem reconheceu nele ao futuro maior matemático do mundo, e ao governo norueguês, pôde levar seus estudos a termo. Após realizar estudos em Christiana e Copenhague, recebeu uma bolsa que lhe levou a visitar a Europa. Abel residiu em Pans, mas foi praticamente ignorado pelos matemáticos franceses. Viajou também a Itália e depois a Berhn, onde conheceu a Crelle. Ao voltar a seu país teve todo tipo de dificuldades, mas seus trabalhos começaram a atrair a atenção dos matemáticos da época. Desgraçadamente, enfermou de tuberculose e morreu quase na miséria em Arendal, quando tema tão só vinte e seis anos.Nos séculos XVII e XVIII foram testemunhas de inumeráveis tentativas infrutuosas de resolver a equação geral de quinto grau mediante radicais. Durante suas primeiras investigações, Abel achou haver encontrado uma solução utilizando a focagem preconizada por Gauss para a equação binómica. Cedo descobriu um erro, e tentou demonstrar a impossibilidade de tal solução. Algum tempo depois conseguiu demonstrar o teorema seguinte: as raízes de uma equação resoluble por radicais podem ser formuladas de forma que a cada radical que aparece na expressão das raízes possa ser expressado como uma função racional das raízes da equação e certas raízes da unidade. Para 1826, Abel serve-se deste teorema para provar que a ecuacióny5 - ai4 + by3-cy2 + dy- e = 0não é resoluble por radicais, isto é, que e não pode ser #expressar em termos de a, b, c, d e e utilizando um número finito de vozes as quatro operações aritméticas fundamentais além da extração de raízes. Estudando certas equações especiais, como a da lemniscata (xn-1 = 0, equivalente à ciclotomía de Gauss), chegou a uma classe de equações algébricas, chamadas «equações abelianas», que são resolubles por radicais. Por exemplo, a equação ciciotómica xn - 1 = 0, em onde n é um número primo, é uma equação abeliana. Abel introduziu também duas noções novas: corpos e polinômios irreducibles em um corpo dado. Um corpo de números significa, segundo Abel, uma coleção de números tais que a soma, a diferença, o produto e o cociente de todo casal qualquer da coleção são fechadas na coleção (são também números da mesma coleção). Assim, os números racionais, reais e complexos formam, respetivamente, um corpo.Durante sua estância em Paris, Abel escreveu uma carta a um amigo, na que o extrato seguinte é particularmente revelador das dificuldades pessoais com as que se enfrentou para se dar a conhecer:Todo principiante tem dificuldades enormes para se fazer notar aqui. Acabo precisamente de terminar um tratado considerável sobre uma verdadeira classe de funções trascendentes [...] mas o Sr. Cauchy propõe-se olhar este trabalho só por em cima.Portanto, Abel confiou a memória a Cauchy com a esperança de que este a analisasse em profundidade, mas Cauchy a extraviou, por descuro ou voluntariamente, o que não se saberá provavelmente nunca. Titulado Mémoire sul une propriété générale d'une classe três étendue de fonctionstranscendantes (Memória sobre uma propriedade geral de uma classe muito extensa de funções trascendentes), este texto longo e difícil de compreender devia ser avaliado por Cauchy e Legendre. Como se sabe, Cauchy perdeu sua pista e Legendre simplesmente o esqueceu, mas após a morte de Abel a Academia buscou a memória e a publicou em 1841, quando foi encontrada, como reconhecimento póstumo a este jovem gênio das matemáticas. Enquanto, outros matemáticos publicaram antes de 1841 resultados sobre as funções elípticas, vários dos quais estavam já contidos na memória de Abel. A idéia profundamente original de Abel foi realizar o investimento da integral elíptica de primeira espécie,

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tomando seu valor como variável independente e seu limite superior como função. Como x = sen , Abel propôs estudar x como uma função de F. A introdução dos números complexos nas integrais elípticas permitiu-lhe desenvolver o que se chama habitualmente «teorema de adição para as funções elípticas» . Mas Abel fez, em 1828, uma descoberta importante que acordou o entusiasmo de numerosos matemáticos, começando por Legendre e Jacobi. Falamos da propriedade fundamental dos integrais telefonemas atualmente abelianas. Pelo estudo de uma generalização das integrais elípticas e hiperelipticas ( "R(X, e)dx, onde R(X E) é uma função racional de x e de e com e2= P(X) e o grau de P ao menos cinco), Abel se viu conduzido ao estudo da integral seguinte:

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onde P(x) é um polinômio de grau superior ou igual a cinco. Investindo o relacionamento entre ou e v. obtém evidentemente v = f(ou), e esta função é um caso especial do que se chama uma «função abeliana». A importância desta generalização é ilustrada claramente pelas palavras de Emile Picard em 1893:Não há, na história da ciência, proposição tão importante obtido a partir de consideração tão singela.Abel ocupou-se também do problema geral do rigor em análise e, designadamente, se inspirou no rigor dos trabalhos de Cauchy. No tema da convergência das séries infinitas, foi o primeiro em demonstrar a convergência da série binómica, além de haver corrigido um erro de Cauchy sobre a continuidade da soma de uma série convergente de funções contínuas servindo da idéia da «convergência uniforme».Após sua morte seu talento foi reconhecido por dois fatos notáveis. Dois dias após sua morte, Crelle anunciava em uma carta sua nomeação para um posto de professor na Universidade de Berlin. Com Jacobi, Abel recebeu o Grande @Premio da Academia de Paris do ano 1830. teve poucos matemáticos cujo nomeie fique unido a tantos conceitos da matemática moderna; baste mencionar os teoremas de Abel, as integrais abelianas, as equações abelianas, os grupos abelianos, as fórmulas de Abel.

JACOBICarl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), matemático alemão cujos estudos, realizados em Berlim, lhe levaram em 1827 a ensinar matemáticas em Konigsberg. Seu pai, rico banqueiro, tentou-lhe quanto era necessário para completar sua formação filológica e matemática. Professor nato, conheceu uma carreira brilhante, como docente e como investigador, mas renunciou a suas funções em 1842 por razões de saúde e se retirou a Berlim com uma pensão do governo prusiano.Jacobi é célebre em matemáticas principalmente por seus trabalhos sobre as funções elípticas e os determinantes funcionais, chamados também jacobianos.

Em 1829 Jacobi utiliza pela primeira vez os determinantes funcionais que levam seu nome. Em alguns anos depois, expressa as mudanças de variável nas integrais múltiplas, mediante determinantes. Por exemplo, a integral duplo ""F(x,e)dxdy, mediante

a mudança de variáveis x = f(ou, Ü), e = g(ou, v), converte-se em

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Onde H(ou,v)F(f(ou,v),g(ou,v)) e o determinante

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chama-se o jacobiano de x e e com respeito a ou e a v. Diz-se que Jacobi estava tão entusiasmado com os determinantes funcionais que fazia questão de conceber os determinantes numéricos ordinários de ordem n como jacobianos de n funcione lineares de n variáveis. Ademais, em 1841, tomou-se o trabalho de publicar uma longa memória consagrada exclusivamente aos determinantes funcionais. Nesta memória põe claramente de manifesto que o determinante funcional é, em vários aspetos e para as funções de várias variáveis, análogo ao cociente diferencial de uma função de uma só variável. Jacobi insiste também no papel deste determinante para definir as condições de dependência e independência de um conjunto de equações ou de funções. Assim, considera n funcione v1, v2, ....., vn, tais que a cada uma é uma função do n variáveis x1, x2, ..., xn, e propõe a questão de como, partindo deste n funcione, o n variáveis podem ser eliminadas de maneira que as vi estejam relacionadas mediante uma equação.

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Demonstrou que se o jacobiano das vi com respeito ao x; anula-se, o n funcione são mutuamente dependentes, e ao inverso. Pode-se também sublinhar a presença nesta memória do teorema do produto para os jacoblanos: se as vi são funções das e; e estas são funções das xi, então o jacobiano das vi com respeito às xi

é o produto do jacobiano das vi com respeito às yi e do jacobiano das yi com respeito às xi;. Finalmente, Jacobi demonstrou também, como o tinha feito Cauchy, que todo determinante real simétrico de qualquer ordem tem raízes caraterísticas reais.Dado que Gauss publicou muito poucos de seus resultados originais, foram Abel e Jacobi os que influíram mais no desenvolvimento ulterior das integrais elípticas. Parece ser que Abel e Jacobi estiveram influenciados ao princípio pelos trabalhos de Legendre, e os dois matemáticos compartilham a glória de haver reconhecido, independentemente um do outro e de qualquer outro, por uma parte a necessidade de investir as integrais elípticas de Legendre e de trabalhar em todo o campo da variável complexa, e por outra parte a necessidade de se referir à integral mesma com o fim de deduzir suas principais propriedades, a fundamental das quais quiçá seja a da dupla periodicidade, isto é, que existem dois números complexos z1 e z2 tais quev = f(ou) = f(ou + z1) = f(ou + z2) onde

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e z1 e z2 são dois períodos diferentes da função elíptica. Jacobi publicou em 1827 seus primeiros trabalhos sobre o tema, quatro anos após a memória de Abel; estas duas memórias foram editadas na mesma revista científica, A revista de Crelle (a primeira revista matemática alemã). Jacobi recolheu em um corpo de doutrina suas próprias descobertas sobre as funções elípticas; vários destes resultados foram também obtidos por Abel, nos Fundamenta nova theorive functionum ellipticarum de 1829.Após 1829, Jacobi tomou consciência de que o método de base utilizado em suas Fundamente nova resultava inapropiado e, em consequência, tentou expressar as funções elípticas mediante funções auxiliares. Foi bem como introduziu as funções zata, que são ilustradas mediante

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onde z e t são complexas, e expressou então as funções elípticas seio amplitude (so ou), cosseno amplitude (sn ou) e delta amplitude (cn ou) em termos destas funções. Obteve também diversas expressões para as funcione zê baixo a forma de séries infinitas e produtos infinitos. Em uma importante Memória de 1835, Jacobi demonstrou que se uma função unívoca de uma só variável é duplamente periódica, a razão dos períodos não é um número real, e que é impossível que tal função tenha mais de dois períodos diferentes. Esta descoberta abria um novo campo de investigação: o problema de encontrar todas as funções duplamente periódicas. Aplicou assim as funções reta à teoria de números.Jacobi interessou-se também pelo cálculo de variações, e sua principal descoberta se refere à existência do conceito de pontos conjugados. Finalmente, mencionemos em teoria de números suas demonstrações, as primeiras sobre as leis de reciprocidad bicuadrática e cúbica.

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BOLZANOBernhard Bolzano (1781-1848), filósofo, lógico e matemático checo, nasceu em Praga em 1781. Era filho de um anticuario italiano e de uma alemã. Ao terminar seus estudos pensa-se nele para a cátedra de matemáticas recentemente vaga na Universidade de Praga. Após ter-se consagrado como sacerdote, ensina filosofia e religião na Universidade, pois o posto de matemáticas era adjudicado a um candidato que possuía maior experiência pedagógica que a sua. Acusado de racionalismo, iniciou-se-lhe um processo que conduziu, em 1820, a seu expulsión da Universidade e à proibição de publicar suas obras. Durante a estância de Cauchy em Praga, Bolzano menciona em uma carta de 18 de dezembro de 1843 dirigida a seu aluno Fesl em Viena que «nos visitamos várias vezes durante os dias que passei em Praga».

Em sua memória de 1817, titulada Demonstração paramente analítica do teorema: entre dois valores quaisquer que dão dois resultados de signos opostos se encontra ao menos uma raiz real da equação, Bolzano apresenta definições rigorosas da função contínua e da derivada de uma função, bem como uma concepção clara dos relacionamentos que unem a diferenciabilidad e a continuidade de uma função.Bolzano dá a definição seguinte da continuidade de uma função:Que uma função f(x) varie segundo a lei de continuidade para todos os valores de x situados no interior ou no exterior de certos limites, equivale ao seguinte. se x é qualquer de tais valores, pode ser #fazer# com que a diferenciaf(X + W) - f(X)seja mais pequena que toda magnitude dada se pode ser tomado w tão pequena como se queira.Observa-se que esta definição não difere essencialmente da de Cauchy, e que converte também em um elemento fundamental o conceito de limite. Ocorre o mesmo com a definição de derivada de uma função proposta pelos dois autores. Acrescentemos que Bolzano sublinhou o fato de que a derivada de f não é um cociente de zeros ou de quantidades evanescentes, senão um número para o que se aproxima o cociente. Ademais, tentou demonstrar teorema seguinte:Toda função contínua de x que é positiva para x = a e negativa para x = ,B, deve ser anulado para certo valor intermédio situado entre e mas afirma que, “refletindo de maneira mais precisa sobre isso”, no fundo esta proposição é idêntica ao teorema sobrei o que versa sua memória. Sempre a propósito da continuidade das funções, Bolzano distingue entre função contínua e função diferenciable, coisa que Cauchy não fez porque achou durante quase toda sua vida que uma função contínua era sempre diferenciable. Efetivamente, em 1834, Bolzano, em seu Théoriefonctions (Teoria mortes)

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separa o conceito de continuidade do de derivabilidad: quarenta anos antes de Weierstrass, fala construído uma função de uma variável real, contínua em um intervalo fechado, que não tem derivada em nenhum ponto desse intervalo.

Seja AB um segmento de reta e M seu ponto médio. Dividem-se AM e MB em quatro partes iguais. Sejam A3 e B3 as reflexões de A3 e B3 pelo espelho. A linha avariada AA´3MB´33B sobre a que se aplica o mesmo processo de subdivisión que sobre AB fornece 16 segmentos de reta. Continuando este processo indefinidamente, o conjunto das linhas avariadas converge para uma curva que representa uma função contínua, a qual não é diferenciable em nenhuma parte.Sublinhemos que a importância desta obra inacabada repousa essencialmente em seu tratamento sistemático e profundo do conceito de função. Designadamente, Bolzano sublinha o caráter local da continuidade: examina a continuidade em um ponto e estuda separadamente a continuidade à esquerda e à direita.Bolzano evidencia também a necessidade de considerar a questão da convergência das séries infinitas. Definiu assim uma classe de séries:A variação (crescimento ou decrecimiento) que experimenta seu valor mediante um prolongamento de seus termos levada tão longe como se queira, é sempre mais pequena que uma verdadeira quantidade, que pode ser tomado, a sua vez, tão pequena como se queira, se se tivesse prolongado já a série o suficientemente.[...1 existe sempre uma, mas só uma quantidade constante à que se aproxima o valor desta série (de termos finitos) tanto como se queira, quando lha prolonga o suficientemente.Introduziu também, para a sucessão de funções com x fixo, F'(x)1, F2(x), ..., Fn(x), ..., Fn+r(x), ..., o teorema que afirma que a diferença entre seu termo n-ésimo Fn(x) e todo termo ulterior Fn+r (x), por afastado que esteja do n-ésimo, é mais pequena que toda quantidade dada, se n se tomou o suficientemente grande; então, existe sempre, segundo Bolzano, uma verdadeira quantidade constante, e uma só, à que se aproximam a cada vez mais os termos desta série, e à que podem ser aproximado tanto como se queira, quando se prolonga a série o suficientemente. Sua demonstração não é completamente rigorosa, porque a determinação desta «quantidade constante» exigia uma concepção lúcida dos números irracionais. Ademais, encontra-se nesta demonstração a condição de Cauchy para a convergência das sucessões, formulada em termos de uma condição suficiente somente, sem formular em termos explícitos a condição necessária.Em sua demonstração puramente analítica do teorema que afirma a existência de uma raiz da equação entre dois valores quaisquer que dão dois resultados de signos opostos, Bolzano utiliza um lema que estabelece a existência de uma cota superior mínima para um conjunto de números reais. Este lema está formulado nestes termos:Se uma propriedade M não pertence a rodos os valores de uma quantidade variável x, mas pertence a todos os que são mais pequenos que um verdadeiro ou, existe sempre uma quantidade Ou que é a maior daquelas das que pode ser afirmado que todos os valores inferiores x possuem a propriedade M.É o teorema de Bolzano-Weierstrass: um conjunto mayorado de números reais admite um limite superior preciso Ou.Bolzano interessou-se também pelo estudo dos números reais com o fim de erigir uma teorfa ao respeito, além de abordar noções que abriam às matemáticas uma perspetiva nova: a da teoria de conjuntos. Sua última grande obra, titulada ParadozienUnendlichen (Paradoxos do infinito), publicada por Préhonsky em 1851, após a morte de Bolzano, contribui as definições (tomadas da Teoria da ciência, de 1837) de conjunto, quantidade, número, conjunto finito e conjunto infinito. Bolzano demonstrou a existência da correspondência biunívoca, como o fala fato Galileo, entre os inteiros naturais e os quadrados perfeitos, entre os elementos de um conjunto infinito e os de um subconjunto próprio. Ademais, Bolzano parece haver reconhecido que a cardinalidad dos números reais é de uma ordem diferente da do conjunto dos inteiros.Como Boyer se compraze em dizer, Bolzano «pregava no deserto», e muitos de seus resultados originais foram redescubiertos mais tarde. Por outra parte, seus trabalhos não foram conhecidos até finais do século XIX.

POISSON

Siméon-Denis Poisson (1781-1840), filho de um administrador da cidade de Pithiviers, entrou na Escola Politécnica em 1798, embora seu pai esperava que se fizesse médico. Foi o aluno preferido de Laplace e, a sua saída da Escola, aos dezenove anos, orientou-se para o ensino. Primeiro substituto de Fourier, converteu-se a seguir em professor e depois em examinador na Escola Politécnica. Elevado à dignidade de par em 1837, foi chamado no mesmo ano para fazer parte do Conselho Real da Universidade, em onde se fez cargo da direção do ensino das matemáticas em todos os colégios da França. Publicou cerca de 400 trabalhos e memórias, e sua reputação como professor foi excelente. Sua obra, imensa e diversificada, aborda principalmente a física matemática, os problemas de atração de potencial, mecânica celeste e probabilidades, enriquecendo também a análise matemática, embora se guardando bem de ser um matemático charuto. Seus dois tratados principais são: Traité de mécanique (Tratado de mecânica), 2 vols., 1811 e 1833, e Recherches sul a probabilitéjugements (Investigações sobre a probabilidade dos julgamentos), 1837. Poisson interessou-se pela manipulação das séries e, designadamente, suas investigações trataram da fórmula para a soma das potências inteiras dos inteiros positivos, que recorre aos números de Bernoulli, e foi o primeiro em se ocupar do resto R fazendo um estudo sério dele. Seu interesse centrou-se também no estudo da convergência das séries, recusando a utilização das séries infinitas divergentes embora, no entanto, na prática as utilizasse abundantemente, quiçá sem o saber, para a representação de funções arbitrárias mediante séries trigonométricas. Poisson publicou uma memória em 1820 na que se serve das integrais de funções complexas calculadas ao longo de trajetórias do plano complexo. Por exemplo, partindo de

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faz x =ei onde toma seus valores de (2n + 1) a 0, e obtém o valor -(2n + 1)i;, tratando a integral como o limite de uma soma. A propósito das equações integrais, descobriu a expressão integral da função g na transformada de Laplace deHistoria de las Matemáticas: El Siglo XVIII
Utilizou também a noção de sumabilidad no estudo da soma de séries trigonométricas, além de se servir do que se denomina atualmente a «sumabilidad de Abel»: seHistoria de las Matemáticas: El Siglo XVIII

tem uma rádio de convergência r e converge para x = r, então

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Em seu tratado de probabilidade de 1837, pode ser encontrado a conhecida distribuição de Poisson ou a lei dos grandes números de Poisson: na distribuição binomial f(x) = (p + q)n onde p + q = 1 e n é o número de provas, quando n aumenta indefinidamente, esta distribuição tende ordinariamente para uma distribuição chamada normal; mas se, quando n aumenta indefinidamente p tende a zero de maneira que o produto np permaneça constante, se tem o caso limite da distribuição binomial telefonema a «distribuição de Poisson».Poisson ficou muito impressionado com os trabalhos de Fourier sobre as séries trigonométricas, e consagrou muitas energias e esforços a resolver, mediante estas séries, equações diferenciais em derivadas parciais, mas a este respeito foi demasiado otimista na utilização que fez destes desenvolvimentos em série. Em seu Mémoire sul a théorieondes (Memória sobre a teoria das ondas), de 1816, Poisson dá a integral de Fourier de uma maneira parecida à de Cauchy.Fornece, por exemplo, a equação exata do potencial quando o ponto é atraído para o interior da massa atractora, chamada equação de Poisson, mas cuja demonstração é pouco rigorosa, inclusive para as exigências da época: partindo da equação do potencial de Laplace.

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onde V é uma função de x, e, e z que está definida para todo ponto (x, e, z) que esteja no interior ou no exterior da massa atractora, Poisson demonstrou que se o ponto está no interior desta massa, então V satisfacedonde Q designa a densidade da matéria atractora, a qual é também uma função das coordenadas x, e e z do ponto.Mas é sobretudo em eletricidade e em magnetismo em onde é o iniciador da teoria do potencial magnético, estabelecendo os princípios da teoria matemática da electrostática e estudando a distribuição da eletricidade na superfície dos corpos condutores, as propriedades dos ímanes produzidos por influência, sem esquecer, finalmente, seus trabalhos sobre a capilaridade, a elasticidade e seu papel importante em mecânica. Inspirou muitas investigações ulteriores, designadamente as de Green.GREENGeorge Green (1793-1841), matemático inglês, autodidacto, desenvolveu as investigações de Poisson em eletricidade e em magnetismo. Em 1828 publicou uma memória titulada Essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism (Ensaio sobre a aplicação da análise matemática às teorias da eletricidade e o magnetismo), que teve uma difusão restringida. Este estudo permaneceu praticamente desconhecido até que Lord Kelvin, sir William Thomson (1824-1907), o fizesse reimprimir em 1846.Como Poisson, parte da equação do potencial de Laplace e demonstra, neste ensaio, o célebre teorema ao que está unido seu nome, e cuja formulação moderna é: se P e Q são duas funções de x e e tais que suas derivadas parciais são contínuas em uma região do plano XY delimitada por um curvo C, então

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(em anotação moderna). Este teorema, e o correspondente em três dimensões, foram demonstrados também por Ostrogradsky em 1X28. Green aplicou sua fórmula a problemas de eletricidade e magnetismo. e seus trabalhos inspiraram à escola inglesa de física matemática, que contava em suas filas com Kelvin, Stokes, Rayleigh e, evidentemente, Maxwell.OSTROGRADSKYMiguel Ostrogradsky (1801-1861), de origem ucraniano, começou seus estudos universitários aos catorze anos na Universidade de Jarkov, fundada em 1805 como consequência de uma reforma empreendida pelo zar em 1802. Ostrogradsky fez estudos brilhantes na Universidade, obteve seu primeiro grau científico, e parecia destinado muito naturalmente ao professorado de universidade. Mas o impulso do movimento revolucionário e a repressão administrativa e policial exercida por Alejandro I fizeram com que a arbitrariedad das autoridades locais deixasse, em 1820, ao melhor aluno de Jarkov sem documentação oficial que atestiguara os estudos que fala fato. Ostrogradsky aceitou sua sorte mas decidiu prosseguir seus estudos em Paris, em onde pode lhes lhe encontrar já no verão de 1822. Segundo parece, o jovem matemático russo fez-se notar por sua inteligência e a seriedade de seus estudos, pois Cauchy, Poisson, Fourier, Lambe, etc., interessaram-se por seus trabalhos. Em t828 voltou a Rússia, mais precisamente a São Petersburgo, onde suas primeiras memórias publicadas em Paris lhe falam tentado uma reputação que precedeu a sua chegada a Rússia. Se seu ilustre contemporâneo Lobachevsky, que trabalhava em Cazã, não conseguiu nenhum reconhecimento em vida, nem sequer de Ostrogradsky, este último, pelo contrário, graças a suas investigações em matemáticas e em mecânica, conheceu um grande renome e um respeito merecido já desde seus primeiros anos de atividades matemáticas. Membro de numerosas Academias, foi eleito correspondente do Instituto da França em 1856 no local de Dirichlet.Ostrogradsky escreveu, em 1826, uma memória titulada Démostration d'um théoreme du calcul integral (Demonstração de um teorema de cálculo integral), na que se encontra, de fato, duas teoremas que têm um caráter auxiliar: o que deu seu nome à memória é um caso particular do teorema de Green mas, para estabelecer este teorema, demonstra em primeiro lugar uma proposição importante. Esta proposição transforma os integrais triplos, tomadas com respeito a um volume V, em integrais com respeito à superfície S que limita o volume (em anotação moderna)

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onde dV é o elemento diferencial de volume, dS o elemento diferencial de superfície, , , e representam os ângulos da seminormal positiva com os eixos de coordenadas retangulares, P, Q e R são funções de x, e e z. Na literatura matemática, chama-se às vezes teorema de Gauss, às vezes formula de Green, às vezes fórmula de Ostrogradsky e às vezes teorema da divergência.Os trabalhos científicos e a atividade pedagógica de Ostrogradsky tiveram uma influência particularmente importante no desenvolvimento das ciências na Rússia. Efetivamente, preparou as condições propícias para a criação da escola matemática, organizada por Chebichev, além de ser considerado como o fundador da escola russa de mecânica teórica. Estimulou na Rússia numerosas investigações, sobretudo em física matemática, cálculo de variações, teoria das integrais múltiplas e teoria das funções algébricas. Com seus ensinos preparou a numerosos professores de matemáticas, cuja formação estava dirigida sobretudo para o campo das matemáticas aplicadas. A ARITMETIZACION DO ANALISISINTRODUÇÃONewton e Leibniz enunciaram claramente as regras de operação de cálculo diferencial e integral, e seus sucessores imediatos confiaram cegamente no simbolismo para lançar-se com entusiasmo à busca de resultados surpreendentes e numerosos. Apesar do clima de confiança que reinava a começos de 1800 sobre a eficácia deste novo cálculo dos processos infinitos, antes inclusive de finais do século XVII já alguns críticos como Nieuwentijt, Berkeley e Rolle suscitaram perguntas sobre as bases lógicas desta nova análise e sobre o caráter vadio e impreciso dos conceitos fundamentais a ele sócios.A princípios do século XVIII, alguns matemáticos perguntam-se pela justificativa dos procedimentos e as dificuldades encontradas no desenvolvimento dos princípios e métodos do cálculo diferencial e integral. Entre estas dificuldades de todas classes, podem ser sublinhado as mais importantes: o conceito de função é vadio e impreciso; o uso abundante das séries infinitas sem ter em conta o conceito de convergência implica o nascimento de paradoxos e de resultados incongruentes; as diversas tentativas para representar funções mediante séries de potências, e designadamente com a ajuda de séries trigonométricas, acrescentam-se à confusão já existente; finalmente, os conceitos fundamentais de limite, derivada e integral devem ser redefinidos com bastante mais clareza e precisão. Todas estas dificuldades acordaram finalmente um verdadeiro descontentamento com respeito ao estatuto lógico da nova análise, e diversos matemáticos decidiram fazer o possível por remediar esta situação.vimos anteriormente as contribuições de D'Alembert, Lagrange, Gaus, Cauchy, Bolzano, Abel e Dirichlet para dotar de umas bases mais apropriadas ao fundamento mesmo da análise. Recordemos que D'Alembert foi o primeiro em reconhecer a necessidade de uma teoria do limite, a fim de estabelecer o cálculo diferencial sobre bases irreprochables, com o que começava, nas matemáticas, a transição da filosofia especulativa para uma construção rigorosa Lagrange tentou, como John Landen (1719-1790) o fazia em seu Residual analysis (Análise residual), de 1764, evitar as dificuldades deste cálculo referindo todas as operações ao álgebra e à geometria. O problema da representatividade e a convergência' sobre o qual repousava a validade dos argumentos de Lagrange, se associa diretamente a considerações sobre o limite, conceito que Lagrange tentava justamente evitar. O sério estudo empreendido por Gauss sobre as séries hipergeométricas marca o fim da utilização temeraria das séries e o começo de uma preocupação pelas questões de convergência e divergência. Cauchy, Bolzano e Dirichlet contribuíram à formulação de definições e critérios de convergência que marcam uma primeira etapa na aritmetización da análise. Propomo-nos agora apresentar, nas páginas que seguem, as principais contribuições do século XIX à libertação do conceito de função e à criação de números reais com o fim de aritmetizar a análise.Libertação do conceito de funçãoConceito finque da análise, o conceito de função foi objeto de um estudo empreendido no século XVIII para clarificar sua expressão analítica. Euler foi o primeiro autor que chamou a atenção sobre o conceito de função em um estudo sistemático de todas as funções elementares. Mais adiante, em meados do século XVIII, a representação de funções desenvolveu-se graças à controvérsia suscitada a propósito do problema da corda vibrante. Euler, D'Alembert e Bernoulli encontraram soluções a este problema em termos de funções chamadas «arbitrárias» ou de séries infinitas de funções trigonométricas, enquanto Lagrange, por sua vez, introduziu uma inovação ao fundamentar o conceito de função sobre a série de potências. Evidentemente estes matemáticos não chegaram a uma definição comummente aceitável nem a resolver o problema do tipo de funções representables mediante séries trigonométricas. É aFourier a quem corresponde a honra de haver alargado o campo de estudo do conceito de função.FOURIERJean-Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830), filho de um alfaiate de Auxerre, nasce o 21 de março de 1768. Fourier é aluno da escola militar dessa cidade, e a seguir orienta-se para o estado eclesiástico e toma o hábito de novicio na abadia benedictina de Saint-Benoit-sul-Loire. Mas a Revolução afasta-lhe dali antes de haver feito os votos, e seus dote excecionais lançam-lhe a uma carreira científica. Bonaparte leva-lhe a Egito, e é ele quem redige a introdução geral à publicação dos trabalhos do Instituto do Egito. É um dos primeiros membros do corpo de professores a raiz da fundação da Escola Politécnica, a sua volta a Egito; permanece na administração-,, em 1802, é nomeado prefecto de Isere. Sua carreira vê-se trastornada, desgraçadamente, pela queda do império. Demite de seu posto de prefecto em 1814 e une-se aos Borbones, mas à volta de Napoleón da ilha de Elba, Fourier não sabe muito bem que fazer e decide fugir. Napoleón não lho toma em conta, e durante os Cem Dias lhe nomeia prefecto do Rhone e conde. Em 1815, Louis XVIII lhe desposee de todo cargo, e no momento de sua primeira eleição à Academia de Ciências, em 1816, o rei se nega a aprovar sua nomeação. Reelegido ao ano seguinte, Fourier recebe a aprovação do rei e entra na Academia, onde, graças ao valor de seus trabalhos, chegará a ser secretário perpétuo da Academia de Ciências e membro da Academia francesa. Nos últimos anos de sua vida estiveram inteiramente consagrados à ciência e a seus trabalhos de acadêmico. Morreu em Paris o 16 de maio de 1830, aos sessenta e dois anos.Historia de las Matemáticas: El Siglo XVIII

A obra de Fourier pode ser considerado como a primeira realmente típica da física matemática. Atraído por um problema largamente discutido em sua época, a propagación do calor, Fourier recolheu seus estudos em uma primeira memória apresentada à Academia de Ciências em 1807. Lagrange, Laplace e Legendre, designados para julgar o valor da memória, criticaram severamente o ensaio por causa de seu imprecisión, e a memória foi, por tanto, recusada. Mas a Academia quis estimular a Fourier a prosseguir seus estudos instituindo, como tema do grande @premio para o ano 1812, precisamente o da propagación do calor. Em 1811. Fourier apresentou de novo uma memória revisada e corrigido, e ganho o grande @premio, mas os juízes, entre os que se encontravam os de 1807, formularam uma vez mais críticas por causa de sua falta de rigor, o que lhe impediu ver sua memória publicada pela Academia. Profundamente ferido pela forma em que era tratado, Fourier não deixa por isso seus trabalhos e, em uma importante obra, a Teoria analítica do calor (1822), estabelece a teoria matemática das leis de propagación do calor, que compreende as idéias fundamentais de Fourier sobre as séries que levam seu nome. Sublinhemos que dois anos após a publicação deste livro, Fourier se converte em secretário da Academia e faz com que a Academia publique integralmente sua memória de 1811.

Baixo certas condições, a temperatura v de uma placa sólida cuja espessura é despreciable, é uma função de x, e e t. Fourier demonstrou, sobre a base de princípios físicos, que v deve satisfazer a lei de propagación dada pela equação em derivadas parciais

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onde K/CD é uma constante que depende da natureza do sólido. Designadamente, a temperatura constante (com o tempo), a equação converte-se ena)à que há que acrescentar condições no contorno. Para resolver este problema, Fourier faz v = F(x)f(e), e pelo método de separação de variáveis obtém a partir da equação a)

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Supondo que F´´(x)/F(x) = m e que f´´(e)/f(x) =-m (onde m é uma constante) obtém as soluções de v em termos de v(x, e) = e-mx cos my.Em virtude das condições.no contorno, o parâmetro m deve ser positivo, ímpar e inteiro. Por sobreposição, Fourier obtém um valor mais geral de v que esb) v(x, e) = aex cos e + bê-3x cos 3e + ce-5x cos 5e + ........Outra condição de contorno impõe que v(0, e) = 1, de onde se deduze que a equação b) deva satisfacerc) 1 = acosy + bcos3e + ccosSy + dcos7e +........onde os coeficientes a, b, c, d, ..., cujo número é infinito, estão determinados, segundo Fourier, por esta identidade. É precisamente o cálculo dos coeficientes da equação c) o que marca o começo do tratamento das séries trigonométricas por Fourier. Após haver efetuado de uma maneira algo dudosa as diferenciações termo a termo, se serve da ortogonalidad e da integração por partes para demonstrar qued) /4=cosy - 1/3 cos3e + 1/5 cos5e-1/7 cos7e+.......Fourier sublinha que a função é periódica de período Ir sem? por outra parte, demonstrar este resultado. Um pouco mais adiante em seu texto, demonstra que a série de d) converge para /4 e obtém também séries para x/2 e log (2 cos x/2). A seguir, Fourier demonstra que toda função periódica par (f(x) = f(-x)) ou ímpar(f(x) =-f(-x)) pode ser desenvolvida em séries de seios ou cossenos, respetivamente. Finalmente, Fourier trata de generalizar o problema: dada uma função arbitrária (x), encontrar os coeficientes an e Historia de las Matemáticas: El Siglo XVIII
bn tais que a equaçãoHistoria de las Matemáticas: El Siglo XVIII
onde

E

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seja uma identidade sobre um intervalo dado do eixo do x. É bem como obtém a fórmula integral dos coeficientes an e bn (obtidos anteriormente por Clairaut e Euler para funções específicas), de uma maneira algo longa e tortuosa e que adolesce de uma verdadeira falta de rigor. No entanto, seu Tratado contém resultados de uma importância indiscutível para o desenvolvimento futuro das matemáticas.

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Sua principal contribuição foi a idéia, esboçada por Daniel Bernoulli, de que toda função f(x) pode ser representada por uma série de Fourier. Embora não se encontra em seu tratado uma demonstração completa deste enunciado, Fourier parecia muito convencido da veracidade desta proposição, pois repousava, segundo ele, em uma evidência geométrica que traduz a «função arbitrária» pela expressão «função traçada arbitrariamente». Esta idéia, excessivamente ampla, de função arbitrária tem no entanto o grande mérito de haver provocado um replanteamiento do conceito mesmo de função. Efetivamente, seja, por exemplo, f(x) = x a função definida no intervalo -"x", que se representa mediante a série de Fourier de senosf(x) = 2 sen x - sen 2x + 3 sen 3xy na cada intervalo de longitude 2, se representa mediante o gráfico seguinteHistoria de las Matemáticas: El Siglo XVIII
Uma função semelhante não pode ser representado mediante uma expressão analítica finita, enquanto os predecessores de Fourier faziam questão de que uma função devia ser representable mediante uma só expressão analítica. Ademais, Fourier afirma que suas séries podem representar funções que têm diferentes expressões analíticas em diferentes partes de um intervalo dado (-, ). Por exemplo, a função seguinte possui um desenvolvimento em série de Fourier no que

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e a gráfica é a seguinte:

Fourier acrescenta também que as expressões diferentes para a cada parte de um intervalo dado podem corresponder a uma gráfica composta de curvas juntas ou disjuntas nesse intervalo Ademais Fourier considera que seus trabalhos sobre as séries trigonométricas demonstram de uma vez por todas que a solução de Daniel BernouIh é a única aceitável no tema do problema da corda vibrante.Os trabalhos de Fourier mostram também que pode ser representado uma função em um intervalo completo, enquanto a série de Taylor representa uma função somente em um meio de um ponto para o qual a função é analítica. Ademais, fazem mais aceitáveis as representações de funções efetuadas por Euler e Laplace por médio das funções de Bessel e os polinômios de Legendre, e mostram como pode ser resolvido uma equação diferencial tendo em conta as condições nos limites impostas à solução da equação. Finalmente, Fourier, Cauchy e Poisson Obtiveram' aproximadamente na mesma época, os integrais dobros' chamadas «integrais de Fourier» para representar funções arbitrárias e para resolver diversos tipos de equações diferenciais.RIEMANNBernhard Riemann (1826-1866), nasceu o 17 de setembro de 1826 em Breselenz, Hannóver, em uma família pobre mas feliz. Seu pai, pastor luterano, ocupou-se pessoalmente de instruir-lhe em história, aritmética e geometria, e completou sua primeira educação. Mais tarde, aos catorze anos, começou seus estudos secundários, e seu timidez acentuada constituiu para ele uma fonte de numerosos sinsabores. Durante seus estudos no colégio, Riemann demonstrou já um talento natural e prodigioso para as matemáticas. Em 1846, entra na Universidade de Gotinga como estudante de filosofia e teología. Nesta época, Riemann queria ser pastor como seu pai, mas seu interesse pelos cursos de matemáticas de Gauss lhe levou a seguir a carreira de matemático, com o consentimento de seu pai. Após um ano em Gotinga foi a Berlim, em onde foi aluno de Jacobi, Dirichlet, Steiner e Eisenstein. Voltou a Gotinga para redigir sua tese doctoral baixo a direção de Gauss. Em 1851 apresentou a tese, titulada Grundlagen für cinema allgemeine Theorie der Functionem einer veranderlichen complexen Grosse (Fundamentos para uma teoria geral das funções de uma variável complexa), que mudou completamente a teoria de funções de variáveis complexas e na que introduziu as célebres superfícies que levam seu nome. Após haver ocupado diversos postos de ensino na Universidade, foi nomeado professor extraordinário em 1857, e aconteceu a Dirichlet em 1859 na cátedra de matemáticas de Gotinga. Em 1862, aproximadamente em um mês após seu casal com Elise Kich, caiu gravemente doente e o governo alemão concedeu-lhe fundos para prosseguir seu convalecencia na Itália, esperando que o clima mais clemente lhe permitisse se recuperar completamente. Historia de las Matemáticas: El Siglo XVIII
Interrompida por viagens a Gotinga, sua estância na Itália não lhe permitiu se curar, e morreu o 20 de julho de 1866 em Selasca, quando só tinha trinta e nove anos.Temos visto que Bolzano separou, em 1834, o conceito de continuidade do de derivabilidad, e que ilustrou esta separação mediante uma função contínua em um intervalo fechado que não é derivable em nenhum ponto desse intervalo. Dado que os trabalhos de Bolzano não foram conhecidos até finais do século xix, se deve a Riemann a primeira distinção neta entre a continuidade e a diferenciabilidad, a qual será formulada em uma memória de 1854 escrita como mérito para o posto de Privatdozent em Gotinga. Nesta memória, consagrada à possibilidade de representar uma função mediante uma série trigonométrica, Riemann apresenta uma função definida como segue. Seja (x) uma função que denota a diferença entre x e o inteiro mais próximo, e seja (x) = 0 se x está a metade de caminho entre dois inteiros. Então -1/2<(x)<1/2

Seja agora f(x) definida mediante

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A série converge para todo valor de x. No entanto, para x = p/2n onde p é um inteiro primo com re, f(x) é discontinua, com um salto cujo valor é 2/8n2 Para qualquer outro valor de x, f(x) é contínua. Ademais7 f(x) é discontinua um número infinito de vezes em qualquer subintervalo. Por outra parte, f(x) é integrable yF(x) = "f(x)dxes contínua para todo x mas não é diferenciable nos pontos nos que f(x) é discontinua. Este exemplo de função contínua mas não diferenciable não foi publicado até 1868, em alguns anos antes da função patológica que apresentou Weierstrass.Nesta mesma memória, Riemann deu-se conta de que devia reconsiderar a noção de integral definida formulada por Cauchy, com o fim de fazer progredir a utilização das séries de Fourier para representar funções a cada vez mais irregulares e inclusive patológicas. Em local de postular a continuidade pontual para o integrando como fazia Cauchy, Riemann busca funções mais gerais e determina as restrições necessárias para as que podem existir as integrais dessas funções. Dessa maneira chega à generalização do conceito de integral que engloba as funcione f(x) definidas e delimitadas em um intervalo fechado [a, b]. Subdivide este intervalo em subintervalosx1=x1-a1;xn=b-xn-1

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e a seguir define a oscilação de f(x) sobre xi como a diferença entre o valor maior e menor de f(x) em xi . Hagamosdonde 0"i" pára todo i. Se Sn aproxima-se a um limite fixo, A, quando todos os xi tendem a zeros independentemente da eleição dos xi e dos o, então A é o valor da integral definida "f(x)dx entre a e b. A definição habitual da integral definida em uns intervalos em termos de somas superiores e somas inferiores conhece-se geralmente baixo o nome de Riemann7 pois foi ele o primeiro em dar esta definição em sua memória de 1854 a propósito da condição necessária e suficiente para que uma função delimitada f(x) seja integrable em [a, b]. Riemann formula-a como segue:Historia de las Matemáticas: El Siglo XVIII
onde Meu e meu são os valores maximales e minimales, respetivamente, de f(X) em i. Faz então Dei = Meu-meu e enuncia que a integral de f(X) em [a, b] existe só sipara todos os i que cobrem inteiramente o intervalo [a, b].

Riemann estudou durante algum tempo baixo a direção de Dirichlet em Berlim, e este último interessou-se muito pelos trabalhos de Riemann. Designadamente, Riemann estudou com grande interesse as séries de Fourier, quiçá a partir dos trabalhos de seu maestro, Dirichlet, sobre essas séries. Este último, recordemo-lo, foi o primeiro em enunciar um conjunto de condições suficientes para que a série de Fourier que representa uma funciónf(x)converja e o faça a f(x). A demonstração de Dirichlet é um requinte da que esboçou Fourier na última seção de sua Teoria analítica do calor. As condições de convergência de Dirichlet são as seguintes:1. que f(x) seja uniforme e delimitada;2. que f(x) seja contínua a pedaços e não aceite mais que um número finito de descontinuidades no período 2;3. que f(x) seja monótona a pedaços e não aceite mais que um número finito de máximos e mínimos em um período.Sabemos que uma série de Fourier não converge sempre para a função f(x) da que se obtém a série, mas Dirichlet demonstrou que, para todo valor de x, a soma da série é f(x) com a condição que a função seja contínua para todo valor de x, e que nos pontos de descontinuidade a série converge para a média aritmética do limite à esquerda e o limite à direita da função, isto é, para1/2 [f(x - 0) + f(x + 0)].Riemann empreende seus trabalhos sobre o tema em 1854 em seu Habilitations-schrift (Memória de habilitação) em Gotinga, e prossegue-os em uma obra que trata Sobre a possibilidade de representar uma função mediante uma série trigonométrica, sem fazer nenhuma suposição sobre a natureza da função. Riemann procede à demonstração do teorema fundamental dividindo a série trigonométrica em duas partes:Partindo de

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faz

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a seguir forma a série e chama Q à soma e f(x) a seu valor, onde f(x) estará determinada Somente para os valores de x para os quais a série converge. É necessário que An !0 quando n !" para assegurar a convergência. Se os coeficientes an e bn tendem a zero, os termos de tendem a zero pára todo x. Riemann demonstra, pois, que se f(x) é delimitada e integrable em [-, ] então os coeficientes as e bn tendem a zero quando n tende a infinito; é o teorema fundamental. Sublinhemos aqui um problema ainda não resolvido: determinar as condições necessárias e suficientes de f(X) para que sua série de Fourier converja para f(x) Se encontram também em sua última obra outros teoremas importantes sobre as séries de Fourier: f(x) pode ser integrable sem ser necessariamente representable mediante uma série de Fourier; há funções não integrables para as quais as séries trigonométricas Q convergen para um número infinito de valores de x, tomados entre dois limites próximos quaisquer; uma série trigonométrica pode converger para um número infinito de valores de x em um intervalo arbitrariamente pequeno inclusive se as e bn não tendem a zero pára todo x.Riemann significou-se em muitas outros ramos das matemáticas, designadamente na teoria de números, demonstrando a importância da função dada na teoria aritmética dos números primos; em equações diferenciais, propondo um novo método para resolver o problema de valores iniciais da equação de ondas; em geometria diferencial, com a introdução da noção de superfície de Riemann (formada de planos superpostos, em número igual ao grau de uma equação algébrica, e unidos por linhas de passagem) que transforma uma função não uniforme em uma função uniforme sobre a superfície em oposição ao plano Z. Seus trabalhos sobre os relacionamentos entre a teoria de funções e a teoria de superfícies conduziram ao estudo de problemas de natureza topológica. Sublinhemos também seus importantes trabalhos em geometria, que serão analisados em um capítulo posterior ao apresentar os trabalhos fundamentais de geometria do século XIX. Os trabalhos de Riemann mudaram completamente a teoria de funções de variáveis complexas, e contribuíram pontos de vista novos sobre a teoria das integrais elípticas, além de suas memórias sobre o calor, a luz, a teoria dos gases, o magnetismo, a dinâmica de fluídos e a acústica. Riemann considerava que suas investigações sobre as leis da física eram as que mais lhe interessavam. Como matemático, se serviu livremente da intuição geométrica e de argumentos físicos.WEIERSTRASSKarl Wilhelm Theodor Weierstrass (1815-1897) nasceu o 31 de outubro de 1815 em Ostenfelde, Westfalia, em uma família católica mas liberal. Karl era o maior de uma família que contava ademais com outro filho e duas filhas, mas nenhum deles se casaria, provavelmente por causa da atitude dominadora de seu pai. Após brilhantes estudos secundários, entrou na Universidade de Bonn como estudante de Direito, mas suas múltiplas atividades lhe impediram completar seus estudos universitários. Dedicou-se às matemáticas só a partir de 1838, mas não chegou a terminar seus estudos de doctorado. Karl orientou-se mais bem para o ensino, e de 1841 a 1854 foi professor em um colégio privado. Após haver debutado como mestre em Munster, e depois em DeutschDrone e Brannsberg, foi nomeado professor em 1856 no Instituto Profissional de Berlim, sobretudo graças a alguns resultados que foram publicados em um período durante o qual não manteve praticamente nenhum contato com os matemáticos de seu tempo, exceto com Christophe Guderman (1798-1851) que estava interessado particularmente na representação de funções mediante séries de potências. Encarregado de curso em 1856 na Universidade de Berlim, Karl converteu-se em professor titular desta universidade a partir de 1863. Permaneceu em seu posto até sua morte, aos oitenta e dois anos, o 19 de fevereiro de 1897. Metódico e cuidadoso, Weierstrass tentou fundamentar as matemáticas, e designadamente a análise, com o máximo de rigor possível mais que recorrer à intuição. Ao haver publicado muito pouco, deu-se a conhecer por seus ensinos na universidade. Sua influência fez-se sentir através das publicações matemáticas de seus numerosos discípulos, e no Congresso Internacional de Paris, em 1900, Hermite dirá dele: «Weierstrass é o maestro de todos nós».Os trabalhos de Weierstrass sobre a aritmetización da análise completaram os de Bolzano, Abel e Cauchy, e seriam conhecidos só a partir de 1859 por seus ensinos na Universidade de Berlim. A expressão «uma variável aproxima-se a um limite» que se encontra nas definições de Cauchy e Bolzano sugere implicitamente o tempo e o movimento. Weierstrass, por sua vez, ressalta o conceito aritmético e interpreta singelamente uma variável como «uma letra que representa qualquer valor de um conjunto dado», eliminando assim a idéia de movimento. Uma variável contínua é uma variável tal que se x0 é qualquer valor do conjunto dos valores atribuídos à variável e é um número positivo qualquer, há outros valores da variável no intervalo (x0- , x0 + ).Historia de las Matemáticas: El Siglo XVIII

A primeira definição de limite de uma função em termos de e proposta por Weierstrass pode ser encontrado, segundo parece, em seu curso de cálculo diferencial dado em 1861. A formulação de Weierstrass precisa a expressão vadia «chega a ser e segue sendo tão pequena como qualquer quantidade dada». que pode ser encontrado nas definições de Cauchy e Bolzano, nestes termos:Se é possível determinar uma cota tal que pára todo valor de h, mais pequeno em valor absoluto que , f(x + h)-f(x) seja mais pequena que uma quantidade tão pequena como se queira, então se dirá que se fez corresponder a uma variação infinitamente pequena da variável uma variação infinitamente pequena da função.

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A definição da continuidade de uma função proposta por Weierstrass provem de uma simplificação de um teorema demonstrado anteriormente por Dirichlet. Equivalente às de Bolzano e Cauchy, esta definição tem o mérito de ser mais precisa e menos ambígua: f(x) é contínua em x = x0, se para um número positivo arbitrariamente pequeno , é possível encontrar um «meio» de x0 de amplitude tal que pára todos os valores nesse meio a diferencia øf(x)-f(x0)| < quando lx—x0| <0. Weierstrass estende a continuidade da função em um intervalo mostrando que é contínua na cada ponto desse intervalo.Após 1861 Weierstrass propôs-se a questão da construção de uma função contínua que não é derivable em nenhum ponto. A célebre função de Weierstrass foi comunicada em uma carta de 1874 a Du Bois-Reymond. Foi a partir desta correspondência quando os matemáticos se propuseram um novo e completo exame dos fundamentos da análise (as funções de Bolzano e Riemann, embora encontradas anteriormente, não chamava a atenção dos matemáticos). Sua função define-se como segue: onde x é uma variável real, a um inteiro ímpar maior que 1, b uma constante positiva menor que 1, e ab> 1+ 3/2. A série é uniformemente convergente e define assim uma função contínua. Esta função contínua mas não derivable em nenhum ponto precipitou a crise que engendrou a construção do sistema dos números reais. Já no século XIX este gênero de funções suscitava a indignação dos matemáticos, e Hermite dizia: «Afasto-me com espanto e horror desta praga lamentável de funções contínuas que não têm derivada.»Uma parte importante do curso de 1861 foi o estudo da derivação das séries infinitas, no que Weierstrass introduziu a noção de convergência uniforme. Embora esta noção fosse reconacida e em 1848 pelo físico matemático G. G. Stokes (1819-1903). cujo nome ficou unido a um importante teorema que transforma uma integral de superfície em uma integral simples, e por P. L. Seidel (1821-1896), nem um nem outro deram uma formulação precisa como a de Weierstrass. Sabemos que a convergência uniforme exige que, dado um £ qualquer, exista um N tal que pára todo n > N,para todo x no intervalo considerado, onde S é a soma da série. Weierstrass utilizou esta noção de convergência uniforme para demonstrar que o limite uniforme de funções contínuas é uma função contínua, e também para demonstrar os teoremas de derivação e integração termo a termo de uma série de funções.Weierstrass distinguiu-se em numerosos ramos das matemáticas: foi o primeiro que utilizou largamente as séries de potências para representar funções em domínios diferentes; seus estudos sobre as funções ehpticas expressas como cocientes de séries de potências lhe conduziram a completar e remodelar a teoria destas funções; seus trabalhos referentes ao cálculo de variações engendraram um novo interesse e estimularam as atividades de matemáticas dedicados a esta disciplina. Weierstrass ocupou-se igualmente das álgebras de dimensão finita, das integrais abelianas e da geometria algébrica. Finalmente, seus estudos sobre os fundamentos da aritmética e sua teoria dos números reais, como veremos mais adiante, marcaram profundamente o desenvolvimento dos fundamentos lógicos das matemáticas.Criação dos números reaisA fundação lógica do sistema dos números reais não foi realizada até finais do século XIX, o que aparece como um dos fatos mais surpreendentes da história das matemáticas. O conceito de número aparece muito cedo na história da humanidade, e certos fatores permitem-nos pensar que o homem primitivo possuía já uma vadia idéia do conceito de número. Gradualmente, o homem aprendeu a servir-se dele para suas necessidades práticas e utilitarias, e já na época dos gregos o número se tinha convertido em um objeto que podia ser estudado por si mesmo. Através dos séculos, constituiu-se um álgebra na que as operações estavam de alguma maneira unidas à veracidade das soluções obtidas. Assim, de uma maneira lenta e progressiva, os conceitos de números natural, zero, número negativo, fração, números racional e irracional e número complexo emergem timidamente à superfície, mas a própria existência desses números repousa essencialmente sobre considerações de natureza geométrica ou algébrica. Em meados do século XIX os matemáticos contentavam-se com um entendimento intuitivo desses números, e a maioria deles pareciam satisfeitos operando sobre esta base mais concreta que lógica. Não é surpreendente, pois, constatar como as singelas propriedades dos números racionais positivos e negativos não são estabelecidas logicamente, e inclusive nem sequer definidas antes do século XIX, o que constitui uma prova de que o desenvolvimento das matemáticas não progride sempre de maneira lógica.A introdução do rigor na análise evidenciou a falta de clareza e a imprecisión do sistema dos números reais. O estudo mais preciso dos limites demonstrou a necessidade de chegar a um entendimento lógico dos números, e designadamente do fato de que uma sucessão de números racionais pode ter como limite um número irracional e inversamente. Os trabalhos de Cauchy sobre a convergência das séries infinitas, o teorema da média demonstrado por Bolzano e o estudo das funções discontinuas representables mediante séries de Fourier revelaram esta mesma lagoa, que exigia uma estruturação lógica dos números sobre bases essencialmente aritméticas.Antes de abordar o desenvolvimento do sistema dos números reais através das teorias dos números racionais e irracionais, há que fazer um breve resumo histórico dos trabalhos sobre os números algébricos e trascendentes.Números algébricos e trascendentesA distinção entre os números irracionais algébricos e os números Irracionais trascendentes apareceu no século XVIII, na época em que Euler demonstrou substancialmente que e e e2 são irracionais e em que Lambert demonstrou que Ir é irracional. Os trabalhos de Legendre sobre a hipótese de que Ir podia não ser uma raiz de uma equação algébrica com coeficientes racionais assinalaram o caminho para a existência de números irracionais de diferentes tipos. Por exemplo, toda rafa de uma equação algébrica polinomial com coeficientes racionais é chamada «número algébrico», enquanto todo número que não seja algébrico é chamado trascendente. Recordemos que Euler reconhecia a distinção entre estes dois gêneros de irracionais já em 1744. Terá que esperar quase em um século antes de que se estabeleça claramente a existência dos irracionais trascendentes, sobretudo graças aos trabalhos de Liouville Hermite e Lindemann.LIOUVILLEJoseph Liouville (1809-1882) nasceu em Saint-Omer em 1809 e fez estudos de engenheiro, figurando entre os melhores discípulos de Canchy. Ensinou matemáticas nas grandes escolas e na Faculdade de Ciências de Paris. Liouville fundou em 1836 o Journal de Mathématiques Pares e Appliquées, que se conhece atualmente baixo o nome de Journal de Linuville, o qual substituiu aos Annales de Gergonne, já desaparecidos nessa época. Embora seu nome não vá unido a nenhuma descoberta realmente fundamental, escreveu sobre aritmética, geometria e física, e se distinguiu particularmente como analista. Efetivamente, um teorema de análise leva seu nome: se f(z), uma função analítica inteira de uma variável complexa z, está delimitada no plano complexo, então f(z) é constante O teorema fundamental do álgebra pode ser considerado como um corolário do teorema de Liouville. Devem-se-lhe também estudos sobre as propriedades gerais das funções monógenas (analíticas) e a primeira teoria completa das funções elípticas consideradas como casos particulares das funções de uma variável imaginária.Em 1844 Liouville mostrou que todo número da forma

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onde as ai são inteiros quaisquer tais que 0"ai"9 é um número trascendente. Por exemplo, o número 0,10010001... é um número trascendente bem como todos os números da forma particular

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Liouville demonstrou que se p/q é uma aproximação de um número irracional algébrico x de grau n, com p e q inteiros, então existe um número positivo M tal que|x — p/qø>M/qnPudo demonstrar assim, mediante a teoria das frações contínuas, que nem e nem e2 podiam ser a raiz de uma equação quadrática com coeficientes inteiros. A seguinte etapa importante será a demonstração da transcendência de e por Hermite.Historia de las Matemáticas: El Siglo XVIII

HERMITECharles Hermite (1822-1901), nasceu em Dieuze em 1822. Foi diplomado da Escola Politécnica, onde mais tarde ocupará um posto de professor, bem como na Faculdade de Ciências de Paris e no Colégio da França. Durante toda sua vida, consagrada às matemáticas puras, Hermite não cessará de aperfeiçoar a teoria das funções elípticas. Designadamente, Hermite encontrou uma fórmula de descomposição em elementos simples que leva seu nome e que permite a integração de toda função elíptica. Ademais, descobriu o relacionamento que existe entre as funções elípticas e a aritmética superior, e demonstrou que estas mesmas funções permitem integrar a equação diferencial telefonema de Lambe. Chegou inclusive a encontrar uma solução da equação geral de quinto grau, que se encontra publicada nos Nourelles Annales de Mathématiques, mediante esta teoria de funções. Finalmente, seu nome ficou unido às formas chamadas herméticas, para a representação dos inteiros reais ou complexos (nas matrizes, por exemplo), bem como a certos polinômios que se obtêm resolvendo um tipo de equações diferenciais mediante séries.Transcendência de e e Em uma memória sobre a função exponencial publicada nos Comptes rendas da Academia em 1873, Hermite demonstrou que o número e não podia ser raiz de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros, isto é, que e é um número trascendente A demonstração de Hermite é muito sofisticada e requer um conhecimento profundo das matemáticas; no entanto, consiste essencialmente em demonstrar que a ecuaciónC0 + C1e +C2e2 + ... + Cnen = 0onde e, que é o número de Euler, não pode existir. Na última parte de sua memória, Hermite aplica seu método de demonstração para obter aproximações talos comoe = 5282494/21444 e e2 = 158452/21444 XLa transcendência do número será demonstrada ulteriormente por Ferdinad Lindemann (1852-1939) em uma memória publicada nos Mathematische Annalen em 1882, baixo o título de Uber dez Zahl (Sobre o número). Seguindo um método semelhante ao de Hermite, Lindemann demonstra que o número e não pode satisfazer identicamente a equação (1)

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onde os xi são números algébricos diferentes, reais ou complexos, e os Ci são números algébricos que não são todos nulos. Primeiro, demonstra que a equação eix + 1 = 0 não tem solução para um x algébrico Efetivamente, façamos em (1) n = 2, C1 = 1 e x2 = 0. Constata-se que ex1 não pode ser algébrico para um xi que seja algébrico diferente de zero. Como x, pode ser 1, e é trascendente. Assim, sabendo que ei + 1 = 0 para x = número i não pode ser algébrico. Mas i é um número algébrico, pelo que tem de ser um número trascendente, já que o produto de dois números algébricos é algébrico. Esta demonstração da transcendência de representa a resposta definitiva ao célebre problema da cuadratura do circulo, porque esta cuadratura seria possível mediante a regra e o compasso só se fosse a raiz de uma equação de segundo grau. Ademais, em virtude deste resultado, o número Ir pode ser a ordenada de uma curva só se esta curva é trascendente, como por exemplo, e = ex, e = arcsen x. Por tanto, a construção destas curvas trascendentes pode ser feito só mediante procedimentos ou aparelhos, como o intégrafo por exemplo. Sublinhemos que a natureza enigmática da constante de Euler permanece ainda sem resolver. Lindemann interessou-se também pelo último teorema de Fermat, e consagrou vários anos de esforços a mtentar o demonstrar, mas sem sucesso.TEORIA DOS NÚMEROS IRRACIONALESHAMILTON William Rowan Hamilton (1805-1865), nasceu o 3 de agosto de 1805 em Dublín, Irlanda. Era o menor de uma família de três filhos e uma filha. Sua brilhante inteligência provinha provavelmente de sua mãe e, por um cúmulo de circunstâncias o jovem William consagrou uma boa parte de sua infância a aprender línguas, sem saber muito bem o porquê, baixo a direção de um tio apasionado pela matéria. Assim, aos cinco anos tão só, Hamilton podia ler o latim, o grego e o hebreu; três anos mais tarde acrescentava a seu bagaje linguístico o italiano e o francês; aos dez anos aprendeu o árabe e o sánscrito e finalmente, aos catorze anos, o persa. Seu encontro com o jovem calculador americano Zerah Colburn fez-lhe abandonar provisionalmente o estudo das línguas para lançar ao estudo das matemáticas. Em 1823 encontra-se no Trinity College de Dublín e já então apresenta uma memória sobre as caústicas que será lida em 1824 na Academia Real da Irlanda. Corrigida e aumentada, esta memória será apresentada de novo à mesma Academia eh 1827 com o título da theory of systems of rays (Uma teoria dos sistemas de raios), que erigia a ótica geométrica em um verdadeiro corpo de doutrina e introduzia as funcione caraterísticas da ótica. Em 1830 e 1832, Hamilton publicou três suplementos a esta célebre memória. Enquanto, aconteceu em 1827 a John Brinkley na cátedra de astronomia do Trinity College, onde destacou como professor. É conhecido sobretudo por sua teoria dos cuaterniones, que será objeto de estudo no próximo capítulo, mas Hamilton se distinguiu também em muitos outros campos: estudo da dinâmica servindo-se de seus célebres funcione caraterísticas; seções cônicas, às que dedicou várias memórias, bem como à resolução da equação de quinto grau e ao primeiro tratamento sistemático dos números irracionais

Trabalhos de Hamilton sobre os números irracionaisEm duas memórias lidas ante a Academia Real da Irlanda em 1833 e 1835 respetivamente, e que seriam publicadas com o título de Algebra as the science of pure fraude. . . (O álgebra como a ciência do tempo puro...), Hamilton escolhe o tempo como o conceito fundamental do que deduze a noção de unidade. Citado por Manheim, escreve:A idéia da continuidade da progressão de uma hora para outra no tempo engloba a idéia de uma progressão contínua de maneira semelhante nas quantidades [...] Prosseguindo esta sucessão de idéias, vemo-nos obrigados a conceber [...] a existência de um número determinado ou de uma razão a que é a raiz quadrada exata de todo número positivo proposto ou razão b.Influenciado pelo pensamento de Newton, Hamilton fundamenta sua teoria do álgebra sobre o conceito de tempo, base tuitiva insatisfactoria para erigir os números em sistemas, já que acha necessário recorrer ao universo físico para justificar ante seus contemporâneos essas noções abstratas. Partindo dos inteiros positivos e de suas conhecidas propriedades elementares, considera uma série equidistante de momentos.. E"E'EABB'B"...onde a cada letra representa um instante ou um momento de tempo tal que os intervalos de tempo entre dois momentos sucessivos são todos iguais uns com respeito a outros. O momento zero, denotado com A é o padrão e todos os demais devem ser comparado com o, enquanto B recebe o nome de «o primeiro momento positivo». O operador a permite passar de uma hora para outra quando se coloca à direita, da maneira siguienteB = a + A, B' = a + B = 2a + A, ...A seguir, Hamilton introduz os ordinales, , 0, 1, 2, 3, ... onde = -1, de forma que seja possível representar a série das etapas formadas a partir do momento zero como segue... 3a, 2a, 1a, 0a; a, 2a, 3a, .onde3a = -3a = E" = -3a + ASi , , , são os ordinales desta série, Hamilton demonstra a sua maneira propriedades tais como+ = + , =, = 1,e a associatividade e distributividad. Introduz as frações racionais de maneira semelhante e afirma, designadamente, que o símbolo fracionário 1/0 denota um ato impossível. Após esta apresentação dos números racionais, Hamilton sugere a idéia da partição dos racionais em duas classes (cortadura de Dedekind) e define um número irracional como o representante de tal partição. Hamilton assegura que existe um conjunto infinito de números entre dois números racionais. Se A e B são dois conjuntos infinitos de numera talos que a cada elemento da é inferior a todo elemento de B e ademais se os elementos da e B estão definidos em extensão pode ocorrer que não tenha nenhum número racional entre A e B. A partir de uma intuição da continuidade do tempo Hamilton sugeriu nesta etapa que esses conjuntos A e B podiam servir para determinar os números irracionais. Partindo de uma média proporcional entre dois números positivos enuncia que se a n'/m' > quando n'2/m'2 < b e se a < "n /m" quando n"2/m"2 > b então a ="b. Asi o "b é uma partição determinada por duas sucessões luja e ovil com a propriedade de que

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Hamilton não desenvolveu mais sua teoria dos números irracionais v toda ela se baseava essencialmente em determinar os números irracionais mediante os números racionais.MÉRAYCharles Méray (1835-1911) matemático francês, nasceu em Chalonsur-Saone em 1835 e foi um apóstolo da aritmetización das matemáticas. Encarregado de curso em 1866 na Faculdade de Ciências de Lyon e depois professor na mesma instituição em 1867 Méray foi o primeiro em publicar um desenvolvimento aritmético dos sistemas de números. Em 1869 publicou uma memória titulada Enfatize sul a natura quantités définies par a condition de sentir de limite a dê variáveis données (Observações sobre a natureza das quantidades definidas pela condição de servir de limite a variáveis dadas) na RevueSociétés Savantes, na que assinala, em primeiro lugar algumas importantes lagoas no raciocínio dos matematicos desde a época de Cauchy e reconhece as dificuldades com que tropeçaram esses matemáticos. De fato Méray evidencia o feito com que consiste em definir o número irracional como o limite de uma sucessão de números racionais sem ter demasiado em conta que a existência mesma do limite pressupõe uma definição dos numera reais.

Méray emprega a palavra «número» para designar o número racional, e uma quantidade é telefonema «variável progressiva>> se pode número infinito de valores sucessivos de um conjunto øi ø; define a seguir a convergência da variável progressiva em termos øn+p-nø ! 0 com 1/n, qualquer que seja o valor atribuído ao limite Assim existem dois tipos de sucessões convergentes A primeira verifica a condição de que existe um N tal que pára todo >0 existe um n tal que para todom "n, øN - m ø< ! øn+p -n ø!0com 1/n, e a segunda corresponde à condição seguinte: o N definido anteriormente não existe e não tem limite mas pode ser verificadoøn+p -nø!0 com 1/nLas sucessões convergentes sem limite chamam-se «limite fictícios» e termos de números Méray chama-as «números fictícios». Acontinuación, Méray mostra como a ordenação destes números fictícios pode ser referida ao esquema da ordenaram dos números, bem como estende todas as operações entre numera racionais a estes números fictícios que nós chamamos números irracionais. A titulo de exemplo Méray explica a significação de "a quando a não é um quadrado. Segundo sua teoria "a é o limite fictício de toda variável progressiva cujo quadrado se aproxima a a, e se o variável v é tal que i-v i ! 0 diz-se então que o limite fictício de v é também "a.Weierstrass e sua teoria dos números irracionaisWeierstrass tentou separar o cálculo diferencial e integral da geometria e fazer repousar todo esse cálculo sobre o conceito de número. Para realizar esta nova focagem da mesma maneira que Méray, se deu conta de que era necessário definir o número irracional independentemente do conceito de limite. Suas investigações sobre a aritmetización não foram publicadas e por isso devemos nos basear sobretudo nas notas publicadas por seus alunos (V. Dantscher A. Pringsheim e G. Mttag-Leffler) para extrair delas as idéias essenciais. Weierstrass define uma «quantidade numérica» como um conjunto dado de elementos dos que se conhece o número de vezes que a cada elemento aparece no conjunto. O número de elementos é finito ou infinito, mas o número de vezes que um elemento aparece no conjunto é necessariamente finito. No caso finito, o conjunto diz-se finito, e tanto faz à soma dos elementos. A igualdade de dois conjuntos finitos obtém-se quando as somas respetivas são iguais. Os inteiros como 1, 2, ... chamam-se «quantidades numéricas absolutas» enquanto as partes de um inteiro como por exemplo 1/3, são as frações.Uma quantidade numérica absoluta a contém um número racional absoluto r se um agregado parcial a igual a r pode ser sustraído de a. A quantidade numérica absoluta a diz-se finita se existe um número racional p tal que todo número racional conteúdo na é mais pequeno que p. Duas quantidades numéricas absolutas finitas a e b serão iguais só se todo número racional conteúdo na está também contido em b. No caso de que a contenha um número racional que não seja elemento de b, se diz que a é maior que b. A soma da e b é a quantidade numérica c definido como o conjunto cujos elementos são aqueles que aparecem na ou em b, de maneira que a cada elemento de c seja igual ao número de vezes que um elemento a aparece em b. O produto da e b define-se como a quantidade numérica absoluta que se obtém com os agregados cujos elementos se obtêm formando de todas as maneiras possíveis os produtos da cada elemento da e a cada elemento de b. Weierstrass estende esta definição à soma de um número finito de quantidades numéricas absolutas, de maneira que a cada quantidade desta soma seja a soma das componentes, e passa a seguir à soma de um número infinito de quantidades de uma maneira completamente análoga. Efetivamente, a soma de um número infinito de quantidades a, b, c, ... é a quantidade numérica absoluto s (agregado) cujos elementos aparecem ao menos em uma das a, b, ..., de maneira que a cada um dos elementos e está tomado um número de vezes Ne igual ao número de vezes que aparece em a, mais o número de vezes que aparece em b, e assim sucessivamente. Para assegurar-se de que s é finito e determinada, é necessário que a cada um de seus componentes apareça um número finito de vezes em séc. Ademais é também necessário e suficiente que possa ser atribuído um número N tal que a soma de todo número finito de quantidades a, b, c, ..., seja inferior a N. Destas definições segue-se que toda quantidade absoluta é a soma dos elementos dos que está composta.Na teoria de Weierstrass, os números irracionais são, pois, agregados de números racionais mais que sucessões ordenadas de numera racionais, e esta teoria oferece a imensa vantagem de evitar o ter que recorrer de antemão à existência de limites. Cantor empreendeu também alguns estudos com objeto de efetuar a aritmetización elaborando uma teoria dos números irracionais que seria posteriormente modificada em parte por seu aluno E. Heine (1826-1881).CANTORGeorg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) nasceu o 3 de março de 1845 em São Petersburgo, em uma família de três filhos. Seu pai era um próspero comerciante de origem judeu que se tinha convertido ao protestantismo. Educado primeiro baixo a direção de um tutor, frequentou depois a escola elementar de sua cidade natal, onde mostrou já um interesse marcado pelo estudo das matemáticas. No entanto, seu pai desejava que seu filho maior fizesse a carreira de engenheiro militar e, após realizar estudos secundários em colégios privados de Francfort, em 1859 entra na Escola Politécnica de Darmstadt. Deixa a escola de engenharia militar em 1862 para empreender estudos superiores em Zurich, que abandona em 1863 após a morte de seu pai. Em outono de 1863, entra na Universidade de Berlim, onde estuda matemáticas, física e filosofia Kummer, Weierstrass e Kronecker eram naquele então os três grandes matemáticos alemães e, designadamente, Kronecker estimulou vivamente a Cantor para que se interessasse pela teoria de números. No entanto, será Weierstrass quem exercerá, com muito, a maior influência na carreira científica do jovem Cantor.Em 1867 recebe o doctorado após haver apresentado uma dissertação sobre as Disquisitiones arithmeticae de Gauss e a Teoria de números de Legendre. A seguir começa sua carreira como professor na Universidade de Ache e publica seus primeiros trabalhos, todos consagrados à teoria de números. Em 1872 conhece em Suíça a Richard Dedekind, e esse encontro será o começo de uma longa amizade entre estes dois célebres matemáticos. No ano 1874 foi muito importante para Cantor, pois foi o ano de seu casal com Vally Guttman, e o do nascimento da teoria de conjuntos, marcado pela publicação de um artigo na revista de Crelle. O conteúdo dessa memória foi considerado paradójico nessa época, e à medida que sua teoria progredia, fazia-se mais forte a oposição à mesma, designadamente por parte de Kronecker. Cantor tinha, no entanto, também defensores, entre os que se contavam Weierstrasss e Dedekind. Desde 1879 até 1884 publicou praticamente toda sua teoria de conjuntos, e as numerosas dificuldades com que tropeçou Cantor durante esse período, como o atraso na impressão de seu tratado de 1878 e o movimento de resposta dirigido por Kronecker, lhe afetaram de tal maneira que caiu em uma profunda depressão nervosa durante o ano 1884. Segundo parece, à luz dos acontecimentos, a oposição constante de Kronecker aos trabalhos de Cantor não se dirigia pessoalmente contra este último, senão mais bem contra a natureza dos conceitos cantorianos, sobre a base das convicções científicas pessoais de Kronecker. A morte do influente Kronecker em 1891 e, ao mesmo tempo, a amizade sincera de homens influentes como Mittag-Leffler, unida ao afeto pessoal de Weierstrass, fizeram provavelmente mais tolerável a vida de Cantor. Após 1891, os trabalhos de Cantor começaram a ser justamente reconhecidos e sua pessoa recebeu merecidos honras. Morreu o 6 de janeiro de 1918 em uma clínica psiquiátrica de Ache, após assistir às primeiras manifestações da considerável influência que sua teoria exerceria no mundo das matemáticas e constatar igualmente o justo reconhecimento geral que tanto desejava.Cantor tinha-se interessado desde o começo de sua carreira científica pelos estudos em teoria de números; mais tarde redigiu um verdadeiro número de memórias sobre as séries trigonométricas. Foi este estudo das séries trigonométricas o que levou a Cantor à teoria de conjuntos de pontos e aos cardinales transfinitos. Ademais, em sua décima memória, publicada em 1872, Cantor apresentou pela primeira vez sua teoria dos números irracionais. Voltaremos mas tarde sobre sua teoria de conjuntos, mas a seguir nos ocuparemos de seu estudo dos números irracionais. Teoria dos números irracionais de Cantor-HeineUm dos problemas importantes da época no teína das séries trigonométricas consistia em estabelecer a unicidad do desenvolvimento trigonométrico a propósito das séries gerais, isto é, aquelas cujos coeficientes não têm necessariamente a forma integral de Fourier. Desde 1870 a 1872, Cantor redigiu cinco memórias sobre as séries trigonométricas nas que prestou especial atenção ao teorema de unicidad, e em novembro de 1871 acrescentou uma extensão a esse teorema lhe incorporando a frase: a convergência ou a igualdade da soma da série trigonométrica pode não se verificar em um agregado infinito de x no intervalo 0... 2: sem que por isso o teorema deixe de ser válido. É então quando Cantor tenta descrever a estrutura de tal agregado apresentando esclarecimentos sobre a natureza das quantidades numéricas tanto finitas como infinitas. Heine sugeriu algumas simplificações à teoria de Cantor em uma memória publicada na revista de Crelle, em 1872, balo o título Die Elemente der Funktionenlehre (Os elementos da teoria de funções) e foi bem como conveio-se em falar da teoria de Cantor-Heine, embora o primeiro publicasse em 1883 uma memória mais detalhada sobre a teoria dos números irracionais.Introduzem uma nova classe de números, os números reais, que contém os números racionais e os irracionais. A construção dos números reais efetua-se sobre a base dos números racionais partindo de uma sucessão de números racionais {ai }que satisfaz a condição de que, para todo n dado, todos os membros salvo um número finito diferem um do outro de maneira que

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para um número r qualquer.Esta sucessão, telefonema «fundamental», é por definição um número real, enquanto uma sucessão que verifique a propiedadse chama «elementar».Duas sucessões fundamentais {ai } e {bi}são iguais ou representam o mesmo número real só se a sucessão {ai-bi} é elementar. A Propósito destas sucessões elementares, Cantor-Heine definem a sucessão nula, a sucessão positiva e a negativa. Dado um número racional arbitrário, se os termos da sucessão para um N suficientemente grande são todos inferiores em valor absoluto a esse número racional dado, então a sucessão se diz nula. A sucessão se dirá positiva se para um N suficientemente grande, todos os termos são superiores a um número racional positivo dado, enquanto se todos os termos são inferiores a um número racional negativo dado, a sucessão se dirá que é negativa. À cada sucessão fundamental{ai}cujos termos são a1, a2, ... an associam o símbolo A e, designadamente, se ai = a pára todo i, o símbolo associado à é a. Esta eleição do simbolismo permite assim encastrar os números racionais em um novo conjunto, a sucessão fundamental. Por exemplo, toda sucessão {ai }com ai = a pára todo i onde a seja um número racional define o número racional a.Dadas duas sucessões fundamentais {ai } e {vi}representadas pela e V, pode ser demonstrado que {ai+vi} {ai .vi } e {ai/vi} (com vi 9t Couve) são sucessões fundamentais. Isto define a soma A + V, ele produto A · V, e o cociente A/V (V" 0) de dois números reais. Assim mesmo, define-se a igualdade e a desigualdade da mesma maneira: A = V, A V > ou A V < segundo seja A-V, igual, maior ou menor que zero.Definem a seguir o limite de uma sucessão fundamental {ai} da maneira seguinte: se existe um número racional A tal que

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então A é o limite de ai {}. Depois mostram que se os termos de uma sucessão fundamental têm o limite racional A, então o símbolo A é também o sócio à sucessão. Por exemplo, as frações 0.1, 0.11, 0.111, ... têm como limite 1/9, e 1/9 é o número associado à sucessão{0.1, 0.11, 0.111, ...;}.A extensão do conceito de limite aos números irracionais efetuou-se da maneira seguinte: se A é um símbolo (racional ou não) e se

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então A é o limite de ai {}. Com isso pode demonstrar o teorema seguinte: se {a o) é uma sucessão qualquer de números reais (racionais ou irracionais) e sia um r qualquer, então existe um número real A único, determinado pela sucessão fundamental dos números ai lim ai = A. É bem como, determinando o limite de uma sucessão fundamental (ou sucessão que satisfaz o critério de convergência de Cauchy) por médio dos números existentes, chegaram a demonstrar que esses números reais formam um sistema completo. Bastava então evidenciar que os números irracionais se formam a partir de sucessões fundamentais que não são racionais e demonstrar que todas as sucessões fundamentais não são necesaramente racionais.DEDEKINDJulius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916) nasceu o 6 de outubro de 1831 em Brunswick, Alemanha. Orientou-se desde muito cedo para as ciências físicas. Foi provavelmente o último aluno conhecido de Gauss, quem foi seu diretor de tese até 1852, ânus em que Dedekind obteve seu doctorado. Foi depois professor no Politécnico de Zurich, e depois na Escola Técnica Superior de Brunswjck. Amigo pessoal de Cantor, de personalidade muito original, professou uma grande simpatia para as idéias, muito #discutível naquela época, deste último. Toda sua carreira científica se desenvolveu praticamente na sombra, e não lhe foi oferecido nenhum posto importante de professor. Morreu o 12 de fevereiro de 1916, quase dois anos antes que Cantor, sem conhecer nunca a glória.O nome de Dedekind fez-se célebre por suas numerosas contribuições originais em matemáticas. Sublinhemos, entre outras, sua teoria dos números algébricos, que é uma generalização dos inteiros complexos de Gauss e dos números algébricos de Kummer; sua formulação abstrata da noção de caráter de um grupo aplicada aos grupos abelianos e provavelmente a primeira definição abstrata de um grupo finito; sua focagem aritmética no tratamento das curvas algébricas, cuja idéia central provem de seus trabalhos sobre os números algébricos, seu livro sobre a natureza e a representatividade dos números, onde se trata de conjuntos infinitos, etc.; sua introdução de classes de números algébricos chamados «ideais» em honra de Kummer. No entanto sua celebridade baseia-se sobretudo em seus Ensaios sobre a teoria de números, publicados em 1872, que se ocupam do conceito de continuidade e os números irracionais.Teoria dos números irracionais de DedekindEncarregado de curso de cálculo diferencial e integral no Politécnico de Zurich em 1858, Dedekind deu-se conta muito cedo de que a aritmética dos números reais não possuía um fundamento lógico adequado. Mais especificamente, negava-se a recorrer à evidência geométrica para demonstrar o teorema seguinte: toda magnitude que cresce de uma maneira contínua mas não sem limite, deve certamente aproximar a um valor limite. Desde um ponto de vista didático encontrava útil o recorrer à intuição geométrica com o fim de não perder demasiado tempo, mas em nenhum caso este recurso, segundo Dedekind, podia ser considerado científico. Por isso se dedicou a meditar sobre a questão durante muito tempo mas não encontrou um fundamento puramente aritmético e perfeitamente rigoroso dos princípios da análise matemática. Dedekind estava convencido ademais, de que o conceito de continuidade não era bem definido ainda, e que o teorema enunciado mais acima constituía uma base suficiente sobre a que fundamentar a análise. Dedicou-se pois, a encontrar a origem deste teorema na aritmética e, ao mesmo tempo, a dar uma definição real da essência da continuidade. Encontrou o que buscava o 24 de novembro de 1858 Em várias ocasiões queria escrever um livro sobre a continuidade e os números irracionais, mas sua obra não será realizada até 1872 A memória de Heine titulada Os elementos da teoria de funções que Dedekind recebeu no mês de março de 1872, lhe reafirmou na resolução de escrever seu livro.Antes de abordar o estudo dos números irracionais, Dedekind pressupõe o desenvolvimento da aritmética dos números racionais, mas chama a atenção sobre um verdadeiro número de pontos que ele julga importantes, estabelecendo uma comparação entre os números racionais e os pontos da reta numérica. A seguir apresenta seu estudo da continuidade da linha reta, fazendo notar, desde o começo, o fato de que em uma linha reta L existe uma infinidad de pontos que não correspondem a nenhum número racional. Portanto, o reto L é infinitamente mais rica em pontos individuais que o domínio R dos números racionais em números individuais. Isto nos conduz, segundo diz, a completar R criando novos números de maneira que o campo dos números adquira a mesma compleción ou, como pode ser dito, a mesma continuidade que a linha reta. Insatisfecho com os métodos habituais para introduzir os números irracionais, os quais se baseiam diretamente na concepção de longitudes prolongadas, propõe em seu local «que a aritmética se desenvolva a partir de se mesma» e o problema se reduz então à determinação aritmética da continuidade.Como tenta definir completamente os números irracionais só mediante os números racionais, e dado que a comparação do domínio R dos números racionais com a reta lhe leva ao reconhecimento de «buracos», de uma verdadeira descontinuidade dos números, Dedekind propõe assim a questão: «Em que consiste esta continuidade Tudo depende da resposta a esta questão e, só mediante ela obteremos uma base científica para a busca de todos os domínios contínuos». O problema consiste, pois, segundo Dedekind, em indicar uma caraterística precisa da continuidade que possa servir de base para deduções válidas. Na seção precedente (a consagrada ao domínio R) evidenciou-se, prossegue que a cada ponto p de uma linha reta produz uma separação em duas porções tal que a cada ponto de uma porção está situado à esquerda da cada ponto da outra porção. Tomando a recíproca desta proposição, Dedekind encontra a essência da continuidade, e formula assim seu princípio:Se todos os pontos de uma linha reta se situam em duas classes tais que a cada ponto da primeira classe se encontra à esquerda da cada um dos pontos da segunda classe, então existe um único ponto que produz esta divisão de todos os pontos em duas classes, esta separação da linha reta em duas porções.Dedekind acrescenta também que esta proposição não pode ser demonstrada e que, portanto, não é nada mais que um axioma pelo que se atribui à linha reta sua continuidade. Na seção IV titulada Criação dos números irracionais, Dedekind introduz seu célebre «cortadura» ao considerar a divisão dos números racionais em duas classes talos que todo número da primeira classe é inferior a todo número da segunda. Esta divisão dos números racionais chama-se uma «cortadura». Se as classes designam-se mediante A1 e A2, então a cortadura designa-se mediante (A1, A2). Pode ser dito, segundo Dedekind, que a cada número racional a produz uma cortadura que possui a propriedade de que, entre os números da primeira classe, existe um número que é o maior ou que, entre os números da segunda classe, existe um número que é o menor. Inversamente, toda cortadura nos números racionais para os que existe o maior dos números na primeira classe ou o menor deles na segunda, está determinada por um número racional.Mas Dedekind acrescenta que é fácil mostrar que existem infinidad de cortaduras que não estão determinadas por números racionais. Se situamos na primeira classe todos os números racionais negativos e todos os números positivos cujo quadrado é inferior a 2, e na segunda classe todos os demais números racionais, então esta cortadura não está determinada por nenhum número racional. Para a cada uma destas cortaduras, «criamos um novo número irracional a que está completamente definido mediante esta cortadura; deve riamos dizer que o número a corresponde a esta cortadura ou que produz esta cortadura».Dedekind estuda, a seguir, os relacionamentos entre as cortaduras, com o fim de obter uma base para a disposição ordenada de todos os números reais. A comparação de duas cortaduras (A1, A2) e (B1, B2) permite-nos definir a identidade e a desigualdade entre estas duas cortaduras: a identidade denota-se mediante = ou , = onde e são os números reais que produzem, respetivamente. as cortaduras (A o, A2) e (Bl, B2), enquanto a desigualdade implica a ou, > > . Na seção v. apresenta as três propriedades fundamentais dos números reais:I. Se > , e > e então > e se dirá que o número se encontra entre e .II. Se a, e são dois números quaisquer diferentes, então existe uma infinidad de números diferentes que se encontram entre e III. Se é um número real qualquer, então todos os números reais se dividem em duas classes A1 e A2, de maneira que a cada uma delas possui um número infinito de elementos, a cada membro de A1 é inferior a e a cada membro de A2 é superior a . O número a pode ser atribuído a qualquer das classes.Além destas três propriedades, Dedekind acrescenta que o domínio dos números reais possui também a propriedade da continuidade, que se expressa da maneira seguinte:Se o sistema dos números reais está dividido em duas classes A1 e A2 de tal maneira que a cada membro de A1 é inferior a todos os membros de A2, então existe um único número a por o qual se produz esta separação.Dedekind passa a seguir às operações com os números reais na seção VI, e tão só define de uma maneira explícita a operação de adição; as outras operações são definibles, segundo o autor, de uma maneira análoga. A adição de (A1, A2) e de (B1, B2) define-se assim: se c é um número racional qualquer, o situamos na classe C1, se a1 está na classe A1 e b1 está na classe B1 de maneira que a1 + b1 "c1, e todos os demais números racionais os situamos na classe C2. Esta separação forma uma cortadura (C1, C2), porque a cada membro de C1 é inferior à cada um dos de C2. Dedekind introduz também nesta seção a noção de intervalo, e termina seus Ensaios voltando a seu teorema de análise que motivou suas investigações, o qual demonstra mediante a noção de cortadura, e sublinha que este teorema é equivalente ao princípio de continuidade.Apesar de certas imprecisiones em sua teoria dos números irracionais, como por exemplo de onde provem o número irracional a que produz a cortadura, ou por que esse número a é diferente da cortadura, Dedekind apresentou uma teoria satisfatória logicamente. Mais tarde, fizeram-se possíveis algumas modificações de sua teoria, como a de Russell para a construção dos números reais. Todo este movimento, empreendido com o fim de realizar a aritmetización da análise, foi aceite pela maioria dos matemáticos. No entanto, alguns se opuseram vigorosamente a estes programas de aritmetización, como Paul duBois-Reymond (1831-1889), que vela nesta aritmetización uma tentativa para destruir a união necessária entre o número e a noção de quantidade. Léopold Kronecker (1823-1891), por sua vez, baseava seus objeciones não no processo mesmo de aritmetización senão, pelo contrário em seu msuficiencia. Finalmente, Hermann Hankel, criador ele mesmo,; de uma teoria lógica dos números racionais, opunha-se ao tratamento formal dos números irracionais sem a ajuda do conceito geométrico de quantidade, porque conduzia, segundo ele, a coisas artificiais e molestas cujo valor científico não era muito grande. Acrescentemos que também se dirigiram verdadeiras critica contra estes programas de aritmetización, e especialmente os de Cantor e Dedekind.Ficava por elaborar uma teoria lógica dos números racionais adequada, o que seria obra de vários matemáticos. entre os que pode ser mencionado a Martin Ohm (1792-1872), irmão do célcbre físico, Weierstrass e sua idéia do casal de números, Dedekind e a utilização das idéias cantorianas sobre conjuntos e Giuseppe Peano (18S8-1932) e os axiomas fundamentais dos números naturais.

Teoria de conjuntos

Temos visto que a clarificación do conceito de função é o fruto dos trabalhos empreendidos com o fim de estudar mais a fundo a representação das funções mediante séries de Fourier. De 1a mesma maneira, através de teorema de unicidad da representação de funções mediante séries trigonométricas, alguns matemáticos decidiram-se a ocupar do estudo dos conjuntos infinitos de pontos, designadamente Heine, Du Bois-Reymond e, evidentemente. Cantor.

Desde a época dos gregos, a atenção dos matemáticos os filósofos sentiu-se atraída pelas noções de infinito, de infinitamente grande e de infinitamente pequeno. Alguns deles recusavam categoricamente toda noção atual de uma coleção infinita, de elementos; para outros, a correspondência biunívoca entre dois conjuntos infinitos conduz a resultados que são incompatíveis com a razão. Gauss, o príncipe dos matemáticos, protesto contra a utilização de uma quantidade infinita como uma entidade matemática real porque o infinito não é para ele mais que uma maneira de falar. Cauchy recusa a correspondência entre uma parte e o tudo em um Conjunto infinito, porque é uma contradição. Nas polêmicas inacabables sobre problemas unidos aos conjuntos intervieram raciocínios e argumentos de natureza metafísica e inclusive teológica. A atitude geral dos matemáticos com respeito a estes problemas consiste, muito frequentemente, em ignorar o que não chega a resolver. Como fato paradójico, se é que o é, cabe mencionar que evitam reconhecer os conjuntos infinitos reais, mas utilizam largamente séries infinitas e conjuntos infinitos como o conjunto dos números racionais 0 reais. A aritmetización da análise obriga aos matemáticos a considerar a existência de conjuntos de pontos, o que conduz à fundação da teoria de conjuntos.Bolzano foi o primeiro, antes que Cantor, em considerar seriamente a elaboração de uma teoria de conjuntos. Recordemos brevemente que defendeu a existência de conjuntos infinitos reais e que chamou a atenção sobre a noção de equivalência de dois conjuntos (correspondência biunívoca). Observou que esta equivalência, no caso de conjuntos infinitos, conduzia a que uma parte fosse equivalente ao tudo, e fez questão de que este resultado fosse aceitado. Finalmente, Bolzano atribuiu números a conjuntos infinitos, atribuição que implicava a existência de números trasfinitos diferentes (o modo de atribuição de Bolzano se revelou inexato segundo a teoria cantoriana). Mas as investigações de Bolzano sobre o infinito centraram-se demasiado no aspeto filosófico das coisas, e o próprio Bolzano decidiu abandonar toda tentativa das prosseguir mais a fundo. Os trabalhos de Heine sobre as séries trigonométricas deram origem ao interesse de Cantor pelo estudo destas mesmas séries. Du Bois-Reymond interessou-se também pelo estudo das séries trigonométricas e, designadamente, pelos relacionamentos entre conjuntos de pontos. Tratadas desde um ponto de vista quase inteiramente filosófico (empirismo), estes relacionamentos levaram-lhe a distinguir entre conjunto denso e conjunto não denso e, por extrapolación a partir da continuidade que carateriza à reta numérica, exigiu que suas ordens de infinitud fossem não só densos senão também contínuos. Outros matemáticos como Riemann, Lipschitz, Hankel e Weierstrass isolaram conjuntos infinitos em seus pesquisa clone, mas nenhum deles sentiu a necessidade de desenvolver uma aritmética dos conjuntos infinitos como fez Cantor.

A teoria de conjuntos de CantorO nascimento da teoria de conjuntos de Cantor começa com sua décimo terceira memória, publicada em 1874 na revista de Crelle baixo o título de Ueber eine EigenschaftInbegrifies aller reellen algebraischen Zahlen (Sobre uma propriedade do conjunto de todos os números reais algébricos). No entanto, em uma memória de 1872 sobre as séries trigonométricas, Cantor apresenta já considerações sobre os conjuntos de pontos, e escreverá mais tarde várias memórias sobre o tema bem como cartas pessoais que precisarão certos pontos específicos referentes a sua teoria.Segundo Cantor, um conjunto é uma coleção de objetos definidos e separados, que podem ser concebidos pela inteligência, e para a que podemos decidir se um objeto dado pertence ou não à coleção. Refutando os argumentos de seus predecessores, Cantor afirma a existência de conjuntos infinitos atuais; e amostra que um conjunto é infinito se existe uma correspondência biunívoca entre ele mesmo e uma de suas partes. Em sua décima memória, publicada em 1872, Cantor introduz, designadamente, o limite de um conjunto de pontos, o conjunto derivado e os conjuntos de primeira espécie. Para um conjunto de pontos P em um intervalo finito, um ponto limite de P é qualquer ponto da reta tal que em todo intervalo que compreenda esse ponto há uma infinidad de pontos de P. Todo ponto de P que não é um ponto limite de P é chamado por Cantor ponto isolado. O conjunto de todos os pontos limites de P se chama o conjunto derivado do conjunto de pontos P. Se P', o conjunto derivado, não é finito, pode ser encontrado um segundo conjunto derivado P", e assim sucessivamente. Se o n-ésimo conjunto derivado de um conjunto de pontos P é finito, então diz-se que P é um conjunto de ordem n ou de primeira espécie. Um conjunto é fechado se contém todos seus pontos limites e é aberto se todo ponto do conjunto é um ponto interior, isto é, se a cada ponto pode ser considerado contido em um intervalo que compreende somente pontos do conjunto original. Um conjunto fechado é perfeito se contém somente pontos limites. A idéia fundamental na teoria de Cantor, a correspondência biunívoca, serve-lhe entre outras coisas para definir a equivalência entre dois conjuntos: se dois conjuntos bem definidos podem ser postos em correspondência biunívoca, têm então a mesma potência ou são equivalentes. No caso finito, o conceito de potência de um conjunto corresponde-se com o número de elementos do conjunto, e a equivalência entre dois conjuntos finitos estabelece-se com o número de elementos da cada conjunto (mais adiante o termino potência se converterá no de cardinal). Um subconjunto de um conjunto P (subconjunto próprio) define-se como outro conjunto cujos elementos são também elementos de P. Um subconjunto de um conjunto finito P tem sempre uma potência inferior à do conjunto P, o que não é verdadeiro no caso dos conjuntos infinitos. Dedekind serviu-se desta constatação para dar, em 1887, a definição seguinte do infinito, independentemente de Bolzano e Cantor: diz-se que um sistema S é infinito quando é similar a uma parte própria de si mesmo; se não, se diz que o sistema S é finito. Cantor ilustra esta constatação mostrando que o conjunto dos números naturais tem a mesma potência que o subconjunto formado pelos números naturais pares. Pelo contrário, pode ocorrer que dois conjuntos tenham potências desiguais. Por exemplo, se M e N têm potências desiguais e o conjunto M é equivalente a um subconjunto de N, somente pode ser concluído que a potência de M é inferior à de N.Cantor tentou também ilustrar seus conceitos de equivalência e de potência mediante conjuntos de números. Nesta ocasião introduz o termo «numerable» para designar todo conjunto que possa ser posto em correspondência biunívoca com os números naturais (inteiros positivos). Amostra de modo que é o conjunto infinito mais pequeno em termos de potência, e que todo subconjunto infinito deste conjunto dos números naturais é necessariamente numerable. Por exemplo, o conjunto dos quadrados perfeitos e o Conjunto dos números triangulares são numerables. Embora esses Conjuntos parecem ser mais pequenos que o conjunto dos números racionais (frações), Cantor demonstrou em 1847, e depois em 1895, que este último conjunto é também numerable. A demonstração seguinte é a dada por Cantor em 1895: disponhamos os números da maneira seguinte:

1/1 2/1 3/1 4/1 1/5 ..............

1/2 2/2 3/2 4/2 ...........

1/3 2/3 3/3 ..............

1/4 2/4

1/5

Pode ser observado que todos os números racionais que se encontram em uma mesma diagonal têm a mesma soma no numerador e no denominador. Partindo de 1/1, seguem-se as setas 2/1, 1/2,1/3,2/2,3/1 etc., e assim se encontrarão todos os números racionais, e à cada um se lhe atribui um número inteiro positivo dado. Desde esse momento, o conjunto assim ilustrado dos números racionais (enel que se encontram os mesmos números mais de uma vez, 1/1, 3/3, 1/2 2/4 etc.) estará em correspondência biunívoca com os números naturais. Portanto, o conjunto ilustrado é numerable e o conjunto dos números racionais, como subconjunto deste conjunto, é também numerable. Cantor demonstrou também um resultado surpreendente em sua memória de 1874: o conjunto de todos os números algébricos é numerable. Mas todos os conjuntos infinitos não têm a mesma potência, e portanto não são todos numerables.Cantor demonstrou que o conjunto dos números reais tem uma potência superior à do conjunto dos números naturais para isso utilizou duas demonstrações, uma das quais é a redução ao absurdo (1892): suponhamos que podem ser numerado os números reais entre 0 e 1; expressemo-los em forma de decimais charutos (que não se terminam, como 0,33333... para 1/3, 0,4999... para 1/2 e assim sucessivamente); se esses números reais são numerables, pode-se então atribuir à cada um um inteiro positivo tal que1! 0,a11a12........2 ! 0,a21a22.......3 ! 0,a31a 32.......onde os aij representam as cifras compreendidas entre 0 e 9 inclusive. Cantor demonstra que o conjunto dos números reais não é numerable escrevendo um número decimal que não se termina e é diferente de todos os da lista anterior. Basta fazer b = 0,b1 b2 ........ onde bk = 9 se akk = 1 e bk = 1 se akk "1. Este número real está compreendido entre 0 e 1 mas não está incluído na lista anterior de números reais compreendidos entre 0 e 1. Por tanto, há uma contradição, e portanto o conjunto de números reais não é numerable. Em 1874, Cantor interessou-se também em demonstrar a independência da potência do contínuo do número de suas dimensões, isto é, em mostrar a equivalência dos pontos de uma reta (potência do contínuo) e os pontos de Rn (espaço de n dimensione). Consegue demonstrar esta equivalência em 1877 e, a este respeito, escreve a Dedekind: «Vejo-o mas não o acho.» Pode-se, pois, demonstrar a equivalência entre o número de pontos contidos em um segmento unitário [0, 1] e o conjunto de pontos de um quadrado unitário, de um volume unitário, de um espaço unitário de n dimensione.Após haver demonstrado a existência de conjuntos da mesma potência e de potências diferentes, Cantor prosseguiu aprofundando em suas investigações e chegou assim a introduzir uma teoria dos números cardinales e ordinales, na que a aritmética se efetua sobre cardinales e ordinales. Esta aritmética particular foi desenvolvida entre 1879 e 1884, e completada em duas memórias publicadas em 1895 e 1897, respetivamente, nos Mathematische Anualen.A teoria de conjuntos e a aritmética dos cardinales e ordinales de Cantor acordou evidentemente o assombro de um bom número de contemporâneos, pela natureza mesma de suas idéias revolucionárias. Ademais, já no final do século XIX, alguns matemáticos incluindo a Cantor, propuseram algumas questões que semearam a dúvida sobre a validade desta teoria, e se evidenciaram já alguns paradoxos e problemas não resolvidos. Outros matemáticos opuseram-se; mencionemos a Kronecker, Felix Klein, Henri Poincaré e Hermann Weyl. Outros, pelo contrário, se sentiram vivamente impressionados pelo uso que já se tinha feito daquelas teorias, como Adolf Hurwitz, Jacques Hadamard, David Hilbert e Bertrand Russell. As dificuldades com que se encontrou a teoria de conjuntos de Cantor sedan clarificadas mediante a asiomatización desta última realizada por Zermelo e Fraenkel, e mediante o estudo dos fundamentos da matemática.

2

aaaaaaaa

a

b

c

-3 - 0 3

-3 - 0 3

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x

-4 -3 -2 - 0 2 3 4

x

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