Estados Unidos

Homotecia

Definição

Chama-se homotecia de centro Ou e razão k (diferente de zero) à transformação que faz corresponder a um ponto A outro A´, alinhado com A e Ou, tal que: OA´=k·OA. Se k>0 chama-se homotecia direta e se k<0 chama-se homotecia inversa.

Homotecias de centro a origem de coordenadas

Em uma homotecia de origem o centro de coordenadas pode ser visto com facilidade o relacionamento que existe entre as coordenadas de pontos homotéticos. Se considera-se A(x,e) e seu homotético A´(x´,e´) o relacionamento que há entre eles é a seguinte: x´=kx    e´=ky

Teorema de Tais. Semelhança de polígonos

Teorema de Tais

Se cortam-se várias retas paralelas por duas retas transversais, a razão de dois segmentos quaisquer de uma delas tanto faz à razão dos correspondentes da outra. No exemplo da cena Descarte seguinte três retas paralelas são cortadas por duas secantes r e s e pode ser comprovado em todo momento que valor atingem os segmentos determinados nestas duas retas e suas cocientes, que são sempre iguais.

Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes quando têm seus ângulos iguais e seus lados proporcionais; isto é, se os triângulos ABC e A´B´C´ são semelhantes verifica-se:

A=A´    B=B´    C=C´        AB/A´B´=BC/B´C´=CA/C´A´=razão de semelhança

ESCALAS

A representação de objetos a seu tamanho natural não é possível quando estes são muito grandes ou quando são muito pequenos. No primeiro caso, porque requereriam formatos de dimensões pouco manejables e no segundo, porque faltaria clareza na definição dos mesmos.
Esta problemática resolve-a a ESCALA, aplicando a ampliação ou redução necessárias na cada caso para que os objetos fiquem claramente representados no plano do desenho.
Define-se a ESCALA como o relacionamento entre a dimensão desenhada respeito de sua dimensão real, isto é:

E = desenho / realidade

Se o numerador desta fração é maior que o denominador, se trata de uma escala de ampliação, e será de redução em caso contrário.

Baseado no Teorema de Thales utiliza-se um singelo método gráfico para aplicar uma 'Homotecia'
escala.

   Veja-se, por exemplo, o caso para E 3:5

1º) Com origem em um ponto Ou arbitrário traçam-se dois retas r e

s formando um ângulo qualquer.

2º) Sobre o reto r situa-se o denominador da escala

(5 neste caso) e sobre o reto s o numerador

(3 neste caso). Os extremos de ditos segmentos são A e B.

3º) Qualquer dimensão real situada sobre r será convertido na do desenho mediante uma simples paralela a AB.

Efeito do desenho a escala sobre as magnitudes lineares, a área e volume

'Homotecia'
para conhecer o efeito que produz o desenho a escala sobre as magnitudes lineares, se analisará o que ocorre quando se alarga um retângulo de dimensões a e b até obter um retângulo de dimensões e kb.

    

Observe-se o relacionamento que se estabelece entre o perímetro P do retângulo original e o perímetro do retângulo alargado:

  P = 2a + 2b

e que = 2() + 2(kb)

     Factorizando k, obtém-se:

= k(2a + 2b)

     Substituindo = 2a + 2b, chega-se a P´ = kP.

     O perímetro P transformou-se igual que a base e a altura do retângulo.

'Homotecia'
     A seguir se verá se ocorre o mesmo com as áreas.

A = ab

= () + (kb)

= k2ab

= k2(A ).


     Se as longitudes transformam-se com uma escala k, então a área se transforma com uma escala k2.

     Veja-se o que ocorre com a longitude de uma circunferencia e com a área de um círculo:

     Suponha-se que a rádio do círculo se transformou com uma escala de k <1.

'Homotecia'

     Se comparam-se as duas medidas das circunferencias, tem-se que:

'Homotecia'

     A longitude da circunferencia transformou-se com uma escala igual que a da modificação da rádio.

     Para as áreas tem-se:

'Homotecia'

     Novamente observa-se que a razão ou escala das áreas é o quadrado da escala com a que se transformam as longitudes.

     Resumo:

  • Efeito das medidas angulares. Sempre que duas figuras ou dois sólidos estejam a escala, existe semelhança entre eles; devendo ser cumprido a condição de ter seus ângulos homólogos iguais, pois a medida de um ângulo não a determina a longitude dos lados que o formam, senão a abertura que há entre ditos lados; ademais, seus lados homólogos são proporcionais.

  • Efeito nas medidas lineares e perímetros. Dois polígonos a escala são semelhantes e cumprem, necessariamente, com duas condições: ter seus ângulos homólogos iguais e seus lados homólogos proporcionais.

  • Efeito das áreas. A razão das áreas de dois polígonos semelhantes tanto faz ao quadrado da escala dada.

  • Efeito nos volumes. A razão dos volumes de dois sólidos semelhantes tanto faz ao cubo da escala dada.

MÉDIA PROPORCIONAL

Ou média geométrica é a cada um dos termos médios de uma proporção geométrica contínua, ou seja, a cada um dos termos médios de uma proporção geométrica, quando são iguais. Assim, na proporção 8:4::4:2 a média proporcional é 4.

TEOREMA

A média proporcional tanto faz à raiz quadrada do produto dos extremos.

Seja a proporção contínua 'Homotecia'
vamos demonstrar que 'Homotecia'

Efetivamente: já sabemos pela propriedade fundamental que ac=bb, ou seja, ac=b2.

Extraindo a raiz quadrada a ambos membros, temos: 'Homotecia'

E simplificando: 'Homotecia'
que era o que queríamos demonstrar.

EXEMPLO

Em 'Homotecia'
temos que 'Homotecia'
.

Quarta proporcional é qualquer dos quatro termos de uma proporção geométrica discreta. Assim, na proporção 8:16::5:10, qualquer destes quatro termos é quarta proporcional respeito dos outros três.

EXEMPLO.

Achar uma quarta proporcional de 20, 1/3 e 2/5.

Forma-se uma proporção geométrica com estas três quantidades, pondo de último extremo x e aclara-se o valor de x: 20:1/3::2/5:x.

Aclarando x: 'Homotecia'

Substituindo o valor de x: 20:1/3::2/5:1/150.

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